La formule du binôme généralisée permet de développer une puissance complexe d'une somme de deux termes sous forme d'une somme de série et généralise la formule du binôme de Newton et celle du binôme négatif. Dans le cas d'un exposant rationnel, elle a été énoncée sans démonstration par Newton dans ses Principia Mathematica en 1687 inspiré probablement des mathématiques arabes, puis prouvée par Euler en 1773.
Énoncé
ou encore : pour tous nombres complexes et tels que , , série convergente dans laquelle, pour tout entier naturel , le coefficient de est le coefficient binomial généralisé , quotient par du symbole de Pochhammer pour les factorielles décroissantes (en particulier, est égal à , comme quotient de deux produits vides).
Propriétés La formule du binôme de Newton est le cas particulier et la formule du binôme négatif est le cas particulier .
Démonstration La (branche principale de la) fonction est holomorphe sur le disque de centre 0 et de rayon 1 et sa dérivée (complexe) k-ième en 0 est égale à (r). Elle est donc développable en série entière sur ce disque selon la seconde formule.
Voir aussi
Liens externes
Binome generalise Catégorie:Coefficient binomial
de:Binomischer Lehrsatz#Binomische Reihe, Lehrsatz für komplexe Exponenten