upright|droite|vignette|La frontière de l'ensemble de Mandelbrot. La beauté mathématique est un sentiment de beauté que certaines personnes ressentent face aux mathématiques. Certains mathématiciens recherchent dans leur travail ou dans les mathématiques en général, un plaisir esthétique. Ils expriment ce plaisir en décrivant de « belles » parties des mathématiques. Ils peuvent considérer les mathématiques comme un art ou comme une activité créative. Des comparaisons sont souvent faites avec la musique et la poésie.
Pour Bertrand Russell, la beauté mathématique est « Les mathématiques ne possèdent pas seulement la vérité, mais la beauté suprême — la beauté froide et austère de la sculpture. »Paul Erdős évoqua le caractère ineffable de la beauté des mathématiques en déclarant :
Nombreux sont les scientifiques qui privilégient comme Paul Dirac la beauté des mathématiques à l'expérience, dans une quête platonicienne de la beauté qui puisse être en harmonie avec la vérité..« Le chercheur, dans son effort pour exprimer les lois fondamentales de la Nature en langage mathématique, devrait en priorité tenter d'obtenir la beauté mathématique. Il arrive souvent que les exigences requises pour la simplicité et la beauté soient les mêmes, mais quand elles sont en désaccord, c'est la dernière qui doit être prioritaire. (…) Il est plus important d’avoir de belles équations que de leur demander d’être en accord avec l’expérience. (…) Il semble que si l’on travaille pour accéder à cette beauté, on soit sur une ligne de progrès assuré. »
Dans les formules vignette|Représentation graphique de l'identité d'Euler dans le plan complexe. Une formule est considérée comme « belle » si elle apporte un résultat essentiel et surprenant par sa simplicité par rapport à la complexité apparente (donc en particulier une égalité dont un des membres est très simple alors que l'autre membre est très compliqué).
Un exemple de belle formule est celle de Leonhard Euler , dont Euler lui-même disait qu'elle montrait la présence de la main de DieuEuler (1707-1783), éd. Kangourou, ..
Dans le roman Enigma de Robert Harris, le mathématicien fictif Tom Jéricho qualifie de « cristalline » la beauté de la formule de Leibniz
Dans les méthodes droite|upright|vignette|Preuve sans mots du théorème de Pythagore. Les mathématiciens peuvent qualifier une méthode dans une démonstration d'« élégante » quand : elle utilise peu de résultats préalables ; elle est exceptionnellement courte ; elle établit un résultat d'une façon surprenante (par exemple à partir de théorèmes qui ne sont apparemment pas en rapport avec celle-ci) ; elle est basée sur des concepts originaux ; elle fait appel à une méthode qui peut être généralisée pour résoudre facilement une famille de problèmes semblables.
Dans la quête d'une démonstration élégante, les mathématiciens cherchent souvent différentes manières indépendantes d'établir un théorème ; la première démonstration trouvée peut ne pas être la meilleure. Le théorème pour lequel le plus grand nombre de démonstrations différentes a été trouvé est probablement le théorème de Pythagore puisque des centaines de preuves ont été publiées365 démonstrations figurent dans , The Pythagorean Proposition, The National Council of Teachers of Mathematics, éd., 1968 ( éd. 1940).. Un autre théorème qui a été démontré de beaucoup de façons est le théorème de réciprocité quadratique de Carl Friedrich Gauss dont de très nombreuses démonstrations différentes ont été publiées Franz Lemmermeyer, Proofs of the Quadratic Reciprocity Law rassemble des citations de la littérature pour 196 différentes démonstrations..
Inversement, des méthodes logiquement correctes mais qui impliquent des calculs laborieux, des méthodes trop nuancées, des approches très conventionnelles, ou qui s'appuient sur un grand nombre d'axiomes particulièrement puissants ou sur des résultats préalables eux-mêmes habituellement considérés comme peu élégants, peuvent être qualifiées de laides ou de maladroites Hardy, A Mathematician's Apology.. Ceci est lié au principe du rasoir d'Occam.
Exemple très simple Soit un train se déplaçant d'un point A à un point B à la vitesse de . La distance entre A et B est de . Soit une mouche qui part de B et qui fait des allers-retours entre le point B et le train. Cette mouche va à la vitesse constante de (c'est une mouche très rapide). Elle fait constamment des allers-retours entre le train et le point B et s'arrête dès que le train est arrivé. On doit calculer quelle distance la mouche parcourt en tout.
Une première méthode non élégante consisterait à calculer les différents points où le train et la mouche se rencontrent, mettre cette distance sous la forme d'une suite, puis faire une somme infinie des termes de cette suite (lorsque le train va se rapprocher de l'arrivée, la mouche va rebondir très très vite, les points de rencontre vont tendre vers l'infini) et on obtient après de très longs calculs la réponse.
Une autre méthode, qualifiée d'élégante, serait de constater que la mouche va s'arrêter en même temps que le train, c'est-à-dire au bout d'une heure, donc qu'elle aura parcouru exactement .
Ce problème est classiquement posé dans l'unique but de tester l'aptitude d'un élève à choisir la méthode la plus simple.
Dans les théorèmes Les mathématiciens voient la beauté dans les théorèmes mathématiques qui permettent de faire le lien entre deux domaines des mathématiques qui semblent à première vue totalement indépendants.. Ces résultats sont souvent considérés comme « profonds ».
Certains exemples sont souvent cités dans la littérature scientifique. C'est le cas par exemple de l'identité d'Euler . Les exemples modernes incluent le théorème de modularité qui établit un lien important entre les courbes elliptiques et les formes modulaires (travail pour lequel ses auteurs Andrew Wiles et Robert Langlands reçurent le prix Wolf), et la « Conjecture monstrous moonshine » qui établit un lien entre le groupe Monstre et les fonctions modulaires par l'intermédiaire de la théorie des cordes pour laquelle Richard Borcherds se vit décerner la médaille Fields.
À contrario, un théorème peut être une proposition qui se déduit de manière évidente et immédiate d'autres théorèmes connus, ou qui ne s'applique qu'à un ensemble spécifique d'objets particuliers. Cependant, il arrive qu'un théorème soit suffisamment original pour être considéré comme profond, bien que sa démonstration soit assez évidente. Ainsi la beauté d'une démonstration peut résider dans le hiatus entre sa simplicité et l'apparente difficulté du problème, fût-il trivialDans des exemples très simples Martin Gardner a illustré cela dans son ouvrage « Haha » ou l'éclair de la compréhension mathématique [« Aha! Insight (1978) »] (trad. de l'anglais par Jeanne Peiffer), Belin - Pour la Science, 1979 .
La beauté dans l'expérience
Un certain plaisir dans la manipulation des nombres et des symboles est probablement requis pour s'engager dans les mathématiques. Étant donné l'utilité des mathématiques dans les sciences et la technologie, il est probable que toute société technologique cultive activement ses besoins d'esthétique.
Bertrand Russell (cité en introduction) évoqua la beauté austère des mathématiques.
La beauté, gain d'une haute lutte Carl Friedrich Gauss dit des mathématiques : .
Claude Chevalley dans un autre registre plus facétieux : .
Mathématique et symétrie Georges-Théodule Guilbaud convoque dans la préface du livre d'Hermann Weyl consacré à la symétrie, la métaphore du groupe Bourbaki au sujet du primat de l'algèbre face au déclin de la géométrie :
Il faut néanmoins nuancer son propos puisque Jean Dieudonné lui-même expliquait que c'était les méthodes géométriques qui se diffusaient paradoxalement dans toutes les parties des mathématiques actuelles avec une grande efficacité. Les mathématiques sont vivantes, leur conception en termes de beauté évolue et il faut se garder de propos trop peu nuancés.
Hermann Weyl explique en se basant sur l'exemple de la symétrie de rotation, qu'il faut dépasser les frontières de la géométrie, puis de l'abstraction mathématique pour accéder à une idée mathématique d'une grande généralité :
Pour Hermann Weyl, la symétrie est l'idée essentielle à travers laquelle l'humanité essaye de comprendre et de créer la beauté, l'ordre, la perfection. il rejoint l'idée aristotélicienne que les sciences mathématiques « mettent en évidence l’ordre, la symétrie et la limitation ; et cela ce sont les grandes formes de la beauté». Il met en évidence qu'elle est au cœur du problème de la relativité. Paul Dirac rejoint la pensée d'Hermann Weyl sur l'importance de la beauté en mathématique. Il pensait qu'il est plus important d'avoir une équation esthétique qu'en accord avec les données expérimentales. Il ajoute en 1928 un terme à l’équation -qui porte son nom- par souci de symétrie. Il a l'intuition -qui sera révélée plus tard par l'expérience- qu'elle a un sens dans la description des particules élémentaires..
La beauté et la philosophie
Certains mathématiciens s'accordent à dire que faire des mathématiques est plus proche de la découverte que de l'inventionPar exemple : , extrait de William Kingdon Clifford, Some of the conditions of mental development.. Ils estiment que les théorèmes détaillés et précis des mathématiques peuvent être raisonnablement considérés comme vrais indépendamment de l'univers dans lequel nous vivons. Par exemple, certains prétendent que la théorie des nombres entiers naturels est fondamentalement valable, d'une manière qui n'exige aucun contexte spécifique. Des mathématiciens ont extrapolé ce point de vue en considérant la beauté mathématique comme une vérité, se rapprochant dans certains cas du mysticisme. Pythagore et toute son école philosophique croyaient en la réalité littérale des nombres (voir l'article École pythagoricienne). La découverte de l'existence de nombres irrationnels provoqua un grand désarroi au sein de l'école; ils considérèrent l'existence de ces nombres non exprimables comme rapport de deux entiers naturels, comme une poussière dans l'univers. Dans la perspective moderne, la vision mystique des nombres par Pythagore serait celle d'un numérologiste plutôt que celle d'un mathématicienCf par exemple Nicole Delongchamp, Le miroir des nombres: numérologie pratique, Fernand Lanore, 1990 , p. 13..
Dans la philosophie de Platon il y a deux mondes, le monde physique dans lequel nous vivons et un monde abstrait différent qui contient la vérité invariable, y compris celle des mathématiques (voir l'article Platonisme mathématique). Il pensait que le monde physique était un reflet dégradé d'un monde abstrait parfait. Après Platon, Aristote définit la beauté mathématique : « […] c'est se tromper que de reprocher aux sciences mathématiques de négliger absolument le beau et le bien. Loin de là, elles s'en occupent beaucoup ; et ce sont elles qui les démontrent le mieux. Si elles ne les nomment pas expressément, elles en constatent les effets et les rapports ; et l'on ne peut pas dire qu'elles n'en parlent point. Les formes les plus frappantes du beau sont l'ordre, la symétrie, la précision ; et ce sont les sciences mathématiques qui s'en occupent éminemment »Aristote, Métaphysique, livre M, ch. 3..
Galilée affirmait que « Les mathématiques sont l'alphabet dans lequel Dieu a écrit l'univers »Cité dans Margaret L. Lial, Charles David Miller et E. John Hornsby, Beginning Algebra, 1992, . et « le livre de la nature est écrit en langage mathématique »Plus précisément : (L'essayeur de Galilée, Christiane Chauviré, p. 141)..