Un composé polyédrique est un polyèdre qui est lui-même composé de plusieurs autres polyèdres partageant un centre commun, l'analogue tridimensionnel des tels que l'hexagramme.
Les sommets voisins d'un composé peuvent être connectés pour former un polyèdre convexe appelé l'enveloppe convexe. Le composé est un facettage de l'enveloppe convexe.
Un autre polyèdre convexe est formé par le petit espace central commun à tous les membres du composé. Ce polyèdre peut être considéré comme le noyau pour un ensemble de stellations incluant ce composé. (Voir la pour ces composés et plus de stellations.)
Le dual d'un composé de polyèdres est le composé des duaux de ces polyèdres.
Composés réguliers
Un composé polyédrique régulier peut être défini comme un composé qui, comme un polyèdre régulier, est isogonal, isotoxal, et isoédrique. Avec cette définition, il existe 5 composés réguliers.
ComposéImage Enveloppe convexeNoyau SymétrieComposé dual-régulier Composé de deux tétraèdres, ou octangle étoilé 100pxCube OctaèdreOh Composé de deux tétraèdres 100pxDodécaèdre IcosaèdreIComposé jumeau chiral de cinq tétraèdres 100pxDodécaèdre Icosaèdre IhComposé de dix tétraèdres 100pxDodécaèdreTriacontaèdre rhombique IhComposé de cinq octaèdres 100pxIcosidodécaèdre Icosaèdre IhComposé de cinq cubes
Le plus connu est le composé de deux tétraèdres, souvent appelé l'octangle étoilé, un nom donné par Kepler. Les sommets des deux tétraèdres définissent un cube, et l'intersection des deux : un octaèdre, qui partage les mêmes plans de faces que le composé. Ainsi, c'est une stellation de l'octaèdre.
L'octangle étoilé peut aussi être regardé comme un composé dual-régulier.
Le se décline en 2 versions énantiomorphes, qui ensemble forment le composé de 10 tétraèdres. Chaque composé tétraédrique est autodual ou dual de son jumeau chiral, et le composé de 5 cubes est le dual du composé de 5 octaèdres.
Remarque : il y a 2 positions pour placer les sommets du tétraèdre régulier sur des sommets du cube, 5 positions pour placer les sommets du cube sur des sommets du dodécaèdre régulier, 10 positions pour placer les sommets du tétraèdre régulier sur des sommets du dodécaèdre régulier, et 5 positions pour placer les sommets de l'icosaèdre régulier sur les arêtes de l'octaèdre régulier.
Composé dual-régulier
Un composé dual-régulier est composé d'un polyèdre régulier (un des solides de Platon ou des solides de Kepler-Poinsot) et de son dual régulier, arrangés réciproquement sur une sphère intermédiaire commune, telle que l'arête d'un polyèdre coupe l'arête duale du polyèdre dual. Il existe cinq composés duaux-réguliers.
Composé dual-régulierImageEnveloppe convexeNoyauSymétrieComposé de deux tétraèdres 100pxCubeOctaèdreOhComposé du cube et de l'octaèdre 100px Dodécaèdre rhombique CuboctaèdreOhComposé de l'icosaèdre et du dodécaèdre 100px Triacontaèdre rhombique IcosidodécaèdreIhComposé du grand icosaèdre et du grand dodécaèdre étoilé 100px Dodécaèdre IcosaèdreIhComposé du petit dodécaèdre étoilé et du grand dodécaèdre 100px Icosaèdre DodécaèdreIh
Le composé dual-régulier d'un tétraèdre avec son polyèdre dual est aussi l'octangle étoilé régulier, puisque le tétraèdre est autodual.
Les composés duaux-réguliers cube-octaèdre et dodécaèdre-icosaèdre sont les premières stellations du cuboctaèdre et de l'icosidodécaèdre, respectivement.
Le composé du petit dodécaèdre étoilé et du grand dodécaèdre ressemble extérieurement au petit dodécaèdre étoilé, parce que le grand dodécaèdre est complètement contenu à l'intérieur.
Composés uniformes
En 1976, John Skilling publia Uniform Compounds of Uniform Polyhedra (Composés uniformes de polyèdres uniformes) qui énumère 75 composés (incluant 6 ensembles prismatiques infinis de composés, #20-#25) fait à partir de polyèdres uniformes avec une symétrie rotationnelle. (Chaque sommet est de sommet uniforme et chaque sommet est transitif avec chaque autre sommet). Cette liste inclut les cinq composés réguliers ci-dessus The 75 Uniform Compounds of Uniform Polyhedra.
Voici une table imagée des 75 composés uniformes listée par Skilling. La plupart sont colorés par chaque élément polyédrique. Certains, comme les paires chirales, sont colorés par symétrie des faces avec chaque polyèdre.
1-19 : Divers (4,5,6,9 et 17 sont les 5 composés réguliers) 100px100px100px100px100px100px100px100px100px100px100px100px100px100px100px100px100px100px100px 20-25 : Symétrie prismatique incluse dans la symétrie diédrique, 100px100px100px100px100px100px 26-45 : Symétrie prismatique incluse dans la symétrie octaédrique ou icosaédrique, 100px100px100px100px100px100px100px100px100px100px100px100px100px100px100px100px100px100px100px100px 46-67 : Symétrie tétraédrique incluse dans la symétrie octaédrique ou icosaédrique, 100px100px100px100px100px100px100px100px100px100px100px100px100px100px100px100px100px100px100px100px100px100px 68-75 : paires énantiomorphes 100px100px100px100px100px100px100px100px
Notes et références Note
Références
John Skilling, « Uniform Compounds of Uniform Polyhedra », dans Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 79, 1976, p. 447-457 Peter R. Cromwell, Polyhedra, Cambridge, 1997 , Dual Models, Cambridge, CUP, 1983, p. 51-53 Michael G. Harman, Polyhedral Compounds, unpublished manuscript, circa 1974 , « Zugleich Gleicheckigen und Gleichflächigen Polyeder », dans Schriften der Gesellschaft zur Berörderung der gesammten Naturwissenschaften zu Marburg, vol. 11, 1876, p. 5-97 Luca Pacioli, De divina proportione, 1509
Liens externes
Stella: Polyhedron Navigator – Logiciel qui peut imprimer des réseaux de beaucoup de composés. Compounds of Polyhedra – de Virtual Reality Polyhedra Uniform Compounds of Uniform Polyhedra Polyhedral Compounds Modular Origami VRML Models
* Catégorie:Polyèdre