Le lemme d'Artin-Rees (aussi connu sous le nom de « théorème d'Artin-Rees ») est un théorème d'algèbre commutative, qui sert notamment à démontrer la propriété de platitude de la des modules de type fini sur un anneau noethérien. Le théorème d'intersection de Krull s'en déduit. Énoncés Le lemme s'énonce comme suit.
On en déduit le théorème suivant.
Corollaires Les deux corollaires suivants se déduisent immédiatement, respectivement, du lemme d'Artin-Rees et du théorème d'intersection de Krull.
En particulier, si I est contenu dans le radical de Jacobson de A alors l'intersection est nulle ; lorsque A est intègre, l'intersection est nulle si et seulement si I est un idéal propre (c'est-à-dire distinct de A). Démonstrations Démonstration du lemme La démonstration ci-dessous est essentiellement celle de Bourbaki (due en fait à Cartier) et a été reprise par .
Dans l'anneau de polynômes A[X], considérons la sous-A-algèbre
A étant noethérien, I est un idéal de type fini de A et B est une A-algèbre de type fini. C'est donc un anneau noethérien.
Notons
et définissons de même . Ainsi, est un sous-A[X]-module de , en particulier un sous-B-module.
Définissons un autre sous-B-module de :
Comme M est un A-module de type fini, est un B-module de type fini, donc noethérien. Le sous-B-module est donc engendré par un nombre fini de vecteurs. Soit k un entier majorant le degré en X de tous ces vecteurs. Alors,
d'où, pour tout ,
ce qui donne l'inclusion dans un sens. Celle dans l'autre sens est immédiate.
Démonstration du théorème
Notons . Si un vecteur x de M est tel qu'il existe un élément α de I pour lequel (1-α)x=0 alors x=αnx pour tout entier n>0, donc x appartient à N. Pour la réciproque, remarquons que d'après le lemme, N=IN. Le lemme de Nakayama permet de conclure.
Références N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre commutative, chapitre III, § 3 , § 5.1 et § 5.3 , chap. VI, exercices 2 et 3 Oscar Zariski et Pierre Samuel, Commutative algebra, vol. I, chap. IV, § 7
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