En mathématiques, la géométrie projective est le domaine de la géométrie qui modélise les notions intuitives de perspective et d'horizon. Elle étudie les propriétés inchangées des figures par projection centrale.

Considérations historiques vignette|Figure géométrique du théorème fondamental de la géométrie projective Ibn Sahl et Abu Sahl al Quhi, inventent conjointement le domaine de la géométrie projective au à Bagdad. Le mathématicien et architecte Girard Desargues, publie ses travaux dans son Brouillon project d'une Atteinte aux evenemens des rencontres du cone avec un plan publié en 1639, où il l'utilise pour une théorie unifiée des coniques. Mais on trouve déjà des notions projectives dans les œuvres de Pappus d'Alexandrie () qui introduit le rapport anharmonique et fait référence à Apollonios de Perga. L'œuvre de Desargues a peu de succès de son temps, et est oubliée jusqu'à sa redécouverte par l'éditeur et bibliophile Poudra au milieu du . Ses contemporains ne comprennent pas la profondeur de ses travaux, à l'exception du jeune Blaise Pascal, qui les poursuit, et démontre en particulier un théorème proche de celui aujourd'hui appelé théorème de PascalRené Taton, « L'œuvre de Pascal en géométrie projective », Revue d'histoire des sciences et de leurs applications, 1962, vol. 15, , ..

Poncelet réinvente la géométrie projective au début du , certainement influencé par la géométrie descriptive enseignée par son professeur à l'École polytechnique, Gaspard Monge. Il publie en 1822 le Traité des propriétés géométriques des figures. Indépendamment, un autre élève de Monge, Joseph Diez Gergonne, découvre lui aussi à la même époque certains des principes de la géométrie projective.. Poncelet et Gergonne, par des voies différentes, mettent en évidence le principe de dualité, propre à la géométrie projective, où, par exemple, deux droites distinctes du plan sont toujours sécantes, tout comme par deux points distincts passe toujours une droite.

August Ferdinand Möbius introduit en 1827 les coordonnées homogènes qui permettent d'appliquer les méthodes de la géométrie analytique à la géométrie projective, travail auquel se consacre également Julius Plücker.. Parallèlement, Jakob Steiner développe l'approche par la géométrie synthétique.

Finalement, c'est Felix Klein qui, à la fin du , clarifie le lien entre géométrie projective et géométrie euclidienne, et montre comment les géométries non euclidiennes peuvent également se ramener à la géométrie projective. Sous l'influence de son programme d'Erlangen a lieu une évolution conceptuelle majeure ; tandis que jusque là la géométrie était la science des figures, elle devient l'étude des transformations de figures : les géomètres du tournant du siècle se concentrent désormais sur la composition des transformations, la structure de certains groupes de transformations, les invariants de telle ou telle famille de transformations, les axiomes minimaux permettant ces propriétés de transformations.

Aujourd'hui, certaines notions élémentaires de géométrie projective sont utilisées dans les systèmes de vision par ordinateur et de rendu graphique, tels qu'OpenGL.

Aperçu élémentaire

Dans une approche issue du programme d'Erlangen, la géométrie projective se distingue de la géométrie euclidienne ordinaire en ne s'intéressant qu'à l'étude de ce qui, dans les figures, reste inchangé après projection, alors que la géométrie euclidienne est l'étude de ce qui reste invariant après déplacement (on peut la voir aussi comme la science des figures qui se tracent à la règle et au compas) ; de ce point de vue, la géométrie projective comporte moins d'axiomes que la géométrie euclidienne et par suite elle est plus générale.

La géométrie projective ignore les droites parallèles, les droites perpendiculaires, les isométries, les cercles, les triangles rectangles, isocèles, équilatéraux, etc. ; on peut aussi dire, par exemple, que pour elle, cercles, ellipses et hyperboles ne constituent qu'une seule figure.

Il est possible, à l'aide de certaines conventions de langage (par exemple en appelant parallèles deux droites qui se coupent sur une droite choisie du plan) de retrouver les résultats de la géométrie affine à partir de ceux de la géométrie projective (voir ci dessous), et en introduisant les nombres complexes, de retrouver également ceux de la géométrie euclidienne.

Axiomes de la géométrie projective

Plusieurs systèmes d'axiomes ont été énoncés pour fonder la géométrie projective, notamment par Enriques, Coxeter et Rossier, qui ne présentent que de légères différences. Les éléments fondamentaux sont les points. Les droites et les plans sont certains ensembles de points. Il existe une relation ternaire, dite d'ordre cyclique, entre les points appartenant à une même droite ou entre les plans passant par une même droite ou entre les droites appartenant à un même plan et passant par un même point.

Axiomes d'incidence

Axiome I1 : Il existe au moins une droite et un point n'appartenant pas à cette droite.

Axiome I2 : À toute droite appartiennent au moins trois points.

Axiome I3 : Étant donné deux points distincts, il existe une droite et une seule à laquelle ces deux points appartiennent.

Axiome I4 : Si A B C et D sont quatre points distincts tels que les droites AB et CD contiennent un point commun, alors les droites AC et BD contiennent un point commun.

Définition : Étant donné trois points A B et C non alignés, on appelle plan ABC, l'ensemble des points appartenant à une droite contenant le point C et contenant un point commun avec la droite AB.

Axiome I5 : Pour tout plan ABC, il existe au moins un point n'appartenant pas au plan ABC.

Axiome I6 : Deux plans distincts quelconques contiennent au moins deux points distincts communs.

Axiomes d'ordre

Définition : On regroupe sous l'appellation forme de première espèce : un ensemble de tous les points appartenant à une même droite, ensemble appelé droite ponctuelle, un ensemble de tous les plans contenant une même droite, ensemble appelé faisceau de plans, un ensemble de toutes les droites appartenant à un même plan et passant par un même point de ce plan, ensemble appelé faisceau de droites.

Axiome O1 : Sur toute forme de première espèce il existe deux relations ternaires inverses, telles que quels que soient les éléments A B et C, le triplet (A,B,C) satisfait à une et une seule de ces deux relations, dite ordre ABC.

Axiome O2 : Quels que soient les trois éléments A, B, et C de la forme, l'ordre ABC est une relation d'ordre cyclique, c'est-à-dire qu'elle satisfait aux conditions suivantes :

.

Axiome O3 : Quels que soient les éléments A et B d'une forme de première espèce, il existe au moins un élément C de la forme tel que R(A,C,B).

Définitions : On dit que les paires d'éléments AB et CD d'une forme de première espèce sont des paires séparées si les ordres ABC et ADB sont les mêmes. On appelle section d'un faisceau de droites de sommet O par une droite la correspondance qui associe à toute droite du faisceau son intersection avec la droite. La correspondance réciproque entre la droite ponctuelle et le faisceau est appelée projection de la droite ponctuelle à partir du point O. On appelle section d'un faisceau de plans d'arête D par une droite la correspondance qui associe à tout plan du faisceau son intersection avec la droite. La correspondance réciproque entre la droite ponctuelle et le faisceau est appelée projection de la droite ponctuelle à partir de la droite D. Étant donnés trois éléments A B et C, on appelle segment AB extérieur à C l'ensemble des éléments M tels que les paires AB et CM soient séparées.

Axiome O4 : La projection et la section conservent les paires séparées.

Axiome de continuité

Définition : On dit qu'un élément M d'un segment AB précède un élément N de ce segment, ou que N suit M, si les paires AN et MB sont séparées.

Axiome C1 : Si les éléments d'un segment AB sont répartis en deux classes telles que : tout élément du segment AB appartient à l'une ou l'autre des deux classes ; l'élément A appartient à la première classe et B appartient à la seconde ; tout élément de la première classe précède tout élément de la seconde classe ;

alors il existe un élément C du segment AB (appartenant à la première ou à la deuxième classe), tel que tout élément qui précède C appartient à la première classe et tout élément qui suit C appartient à la seconde classe.

Modèle algébrique de la géométrie projective

Un espace projectif est défini en algèbre comme l'ensemble des droites vectorielles d'un espace vectoriel ; on peut imaginer l'œil d'un observateur placé sur l'origine d'un espace vectoriel, et chaque élément de l'espace projectif correspond à une direction de son regard.

Un espace projectif se démarque d'un espace vectoriel par son homogénéité : on ne peut distinguer en son sein aucun point particulier comme l'origine d'un espace vectoriel. En cela il se rapproche d'un espace affine.

Définition vectorielle

Soit un K-espace vectoriel ( est un corps commutatif, en général ou ), non réduit à . On définit sur la relation d'équivalence suivante : .

Alors on appelle espace projectif sur l'ensemble quotient de par la relation d'équivalence : .

Pour chaque élément de on notera sa classe d'équivalence : . On a donc : si et seulement si et sont colinéaires.

L'application est appelée projection canonique.

Plus simplement l'espace projectif est l'ensemble des droites vectorielles de ; l'élément de l'espace projectif est la droite vectorielle de dont un vecteur directeur est .

Si est de dimension finie alors on dit que est de dimension finie et on note la dimension de l'espace projectif. En particulier : Si n = 1 alors est un singleton (dimension nulle) ; Si n = 2 alors est un plan vectoriel et est appelé droite projective. Si n = 3 alors est appelé plan projectif ; c'est le cadre le plus courant pour faire de la géométrie.

Si l'espace est l'espace vectoriel de dimension « typique », c'est-à-dire alors on a une notation particulière pour l'espace projectif : au lieu de .

Définition affine

L'aspect formel de la définition vectorielle ne doit pas faire oublier que la notion d'espace projectif est née de la projection centrale et est, avant tout, une notion géométrique. Pour prendre l'exemple de l'espace projectif de , on peut observer le dessin ci-contre où les points , et appartiennent au plan affine (ne passant pas par l'origine). Il faut imaginer un observateur placé en . Cet observateur voit tous les points de la droite en , ceux de la droite en et ceux de la droite en . Les droites du plan ne sont pas vues comme des points de . Il y a donc bijection entre les droites vectorielles de non parallèles à et les points du plan .

L'espace projectif de est ainsi en bijection avec un plan affine ne passant pas par l'origine auquel on ajoute l'ensemble des droites vectorielles de la direction de . On peut donc voir un plan projectif comme constitué d'un plan affine auquel on ajoute la droite projective ayant pour éléments toutes les droites vectorielles (ou directions) de , dite dans ce contexte droite à l'infini. Chaque point de la droite à l'infini est alors appelé point à l'infini ou point impropre (les points de étant les points propres). Cette notion permet, par exemple, de parler, dans un plan, d'intersection entre deux droites quelconques : les droites seront sécantes en un point propre de ou bien en un point impropre dans le cas où les droites sont parallèles. Dans un plan projectif, n'importe quelle droite peut être choisie comme droite à l'infini, et ce qui induit sur le complémentaire une structure de plan affine. Réciproquement tout plan affine, peut être plongé comme plan affine non vectoriel d'un espace vectoriel de dimension 3, et donc complété en un plan projectif.

Cette notion se généralise à tout espace projectif de dimension : c'est un espace affine de dimension auquel on adjoint l'ensemble des directions de .