Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, habituellement appelé Karl Weierstrass, orthographié Weierstraß en allemand, né le à Ostenfelde (Province de Westphalie), mort le à Berlin, est un mathématicien allemand, lauréat de la médaille Copley en 1895.
Biographie Jeunesse Karl Theodor Wilhelm Weierstrass naît dans d'une famille catholique de Westphalie. Il est le premier enfant de Theodora Vonderforst et Wilhelm Weierstrass, inspecteur des impôts, c'est un homme cultivé qui a des connaissances en chimie et en physique et parle le français à la perfection. La famille mène une existence plutôt confortable, le père souhaite que ses fils obtiennent de belles situations dans l'administration. La mère de Karl meurt alors qu'il n'a que douze ans. Un an après sa mort, Wilhelm épouse en secondes noces Maria Theresa Hölscher. En raison du travail du père, la famille déménage assez souvent. Karl commence l'école primaire à Münster, puis en 1829, on l'inscrit à l'Institut catholique de Paderborn. C'est un excellent élève et il obtient des prix dans plusieurs matières, dont les mathématiques, pour lesquelles il montre de grandes dispositions. Il y apprend les bases de la géométrie, de la trigonométrie et de la théorie des nombres. Karl remporte de nombreux prix d'excellence, en allemand, latin et grec ainsi qu'en poésie. L'Institut catholique de Paderborn possède une bonne bibliothèque scientifique, et l'élève Weierstrass la fréquente assidûment. C'est là qu'il commence à lire régulièrement le Journal für die rheine und angewandte Mathematik, mieux connu sous le nom de Crelle. Cette publication joue un rôle décisif dans la carrière de Weierstrass. Pendant sa scolarité à Paderborn, de 1829 à 1834, plusieurs volumes de Crelle paraissent et il peut y lire divers articles et lettres publiés de mathématiciens, parmi lesquels figurent ceux de Niels Henrik Abel, Adrien-Marie Legendre, Charles Gustave Jacob Jacobi et Christoph Gudermann, qui est plus tard l'un de ses professeurs. Plusieurs de ces articles traitent des fonctions elliptiques, qui deviennent l'un de ses grands centres d'intérêt.
Études supérieures C'est ainsi que, par ses propres moyens, il atteint à Paderborn un niveau inattendu de compétence en mathématiques, donne même des cours à son frère Peter et commence à travailler, à quinze ans, comme aide-comptable pour un négociant. À dix-neuf ans, il sort de l'institut catholique, premier de sa promotion. Son père, fort satisfait de ses résultats, l'envoie suivre le cursus d'administration et de finances publiques de l'université de Bonn. Ces cours n'ont pour lui aucun intérêt, il n'y assiste pas et suit plutôt le cours de géométrie de Julius Plücker et, de son propre chef, étudie des ouvrages comme le Traité de mécanique céleste du Français Pierre-Simon de Laplace. Il approfondit son étude des fonctions elliptiques qui l'ont déjà intéressé à Paderborn. Il dévore aussi le Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum du mathématicien allemand Jacobi, paru en 1829. L'abord de cet ouvrage n'était pas aisé, il supposait une connaissance préalable du Traité des fonctions elliptiques du Français Legendre, paru en 1825. Le hasard fait qu'il tombe sur les notes de cours du professeur Christoph Gudermann sur les fonctions elliptiques. À partir de 1836, il devient membre du Corps Saxonia Bonn. À la fin de l'automne 1838, Weierstrass retourne chez son père, physiquement et psychiquement épuisé et lui déclare qu'il ne veut pas devenir fonctionnaire. Un ami de la famille lui conseille de se rendre à Münster pour y suivre une formation en vue de devenir professeur du secondaire. Le , il s'inscrit à l'Académie théologique et philosophique de Münster, où il fait la connaissance de Christoph Gudermann, qui a été disciple de Carl Friedrich Gauss. Gudermann est fasciné par les fonctions elliptiques et, en 1839, consacre au sujet un cours introductif basé sur le livre de Jacobi, que Weierstrass suit assidûment. Au mois de , il participe aux épreuves écrites et orales qui portent sur la philosophie, les mathématiques et la pédagogie. Après la réussite des épreuves orales d', il obtient le diplôme qui fait de lui un enseignant du secondaire. Convaincus des talents de mathématicien de leur élève, ses professeurs de mathématiques, Gudermann et Karl Dietrich von Munchow, lui conseillent vivement de ne pas abandonner ses recherches mathématiques.
Professeur du secondaire Une fois son diplôme obtenu, Weierstrass parachève sa formation pratique à Münster même. Puis, à l'automne 1842, il est nommé à l'Institut catholique secondaire de Deutsch-Krone (en Poméranie occidentale, aujourd'hui Walcz, en Pologne), où il est enfin nommé, à l'âge de vingt-six ans, au poste de professeur titulaire de mathématiques et de physique. Il assure ses fonctions à Deutsch-Krone jusqu'en 1848 tout en continuant de se plonger dans les travaux de mathématiciens comme Abel qu'il admire particulièrement. Au cours de la première année, il rédige trois articles sur la théorie des fonctions d'une variable complexe , qui posent les bases de ses futures découvertes. En 1843, il fait paraître dans les comptes-rendus professoraux annuels de son Institut un travail intitulé Bemerkung über die analitischen Fakultäten, qui aborde un sujet directement lié aux recherches de Crelle, mais n'attire pas l'attention de la communauté scientifique. À l'automne 1848, il est promu et muté à Braunsberg (en Prusse-orientale, aujourd'hui Braniewo en Pologne) où il est professeur de l'Institut catholique pendant six années. Il y dispose d'une petite bibliothèque et le directeur soutient ses recherches. C'est à cette époque qu'il obtient des résultats importants concernant les fonctions abéliennes, une généralisation naturelle des fonctions elliptiques. Vers 1850, Weierstrass commence à souffrir de vertiges, ces malaises durent une douzaine d'années. En , il apprend le décès de Christoph Gudermann à Münster et c'est peut-être de ce moment que date sa décision de rédiger un mémoire sur les fonctions abéliennes intitulé Zur Theorie der Abelschen Functionen qui paraît dans le du Journal de Crelle. La nouvelle de la parution de l'article parvient à l'université de Königsberg où Friedrich Julius Richelot, un disciple de Jacobi, comprend l'importance des résultats de Weierstrass et persuade les responsables de son université de lui accorder un doctorat honoris causa, ce qui est fait le . Le ministre prussien de l'Éducation le promeut au rang de professeur titulaire de l'Institut et lui accorde une exemption de cours pour l'année scolaire 1855-1856 afin qu'il se consacre à ses recherches en toute liberté, sans devoir assurer d'enseignements. L'article est traduit en français et publié la même année dans le Journal de mathématiques pures et appliquées. Parmi les mathématiciens qui font l'éloge du texte, se trouve Cauchy, dont le nom est lié par la suite à l'œuvre de Weierstrass. En 1856, il publie dans Crelle un article intitulé Theorie der Abel'schen Functionen où il donne la démonstration des résultats qu'il n'avait fait que décrire en 1854, ce qui donne une impulsion considérable à la théorie des fonctions abéliennes. Cette réussite est celle qui le conduit enfin à Berlin. Les quinze années durant lesquelles il est professeur du secondaire sont parmi les plus fécondes de sa vie de mathématicien.
Professeur d'université Kummer et Dirichlet interviennent pour que Weierstrass soit recruté à Berlin. On lui propose donc un poste de professeur au Königliches Gewerbeinstitut (Institut industriel), et le , il arrive dans la capitale de la Prusse. Un mois plus tard, on lui offre un poste de professeur associé à la prestigieuse université Humboldt de Berlin. Il accepte aussitôt cette proposition, un accord avec l'Institut industriel lui permettant d'assurer des cours dans les deux institutions. Le , Weierstrass est distingué une nouvelle fois en étant élu à l'Académie des sciences de Berlin. Cette nomination s'accompagne du droit de donner des cours et des conférences selon ses propres choix et intérêts. Il s'installe à Berlin avec ses deux sœurs, Klara et Elisa. Après le décès de leur belle-mère, en 1859, ils sont rejoints par leur père qui passe à Berlin les dernières années de sa vie.
Weierstrass déploie à Berlin une intense activité, il doit assurer douze heures de cours hebdomadaires à l'Institut industriel et deux cours complets à l'université. On appelle parfois la période s'étalant entre 1855 et 1892 la ou de l'université de Berlin. Les premiers cours de Weierstrass ont lieu pendant l'hiver de l'année universitaire 1856-1857, et ils traitent de physique. À partir de l'été 1857, il aborde les fonctions analytiques et elliptiques, qui deviennent rapidement un élément essentiel de ses cours. Il aborde pour la première fois les fondements de l'analyse en 1859-1860. Ses problèmes de santé ne lui laissent pas de répit et, le il a un malaise dont les suites lui interdisent toute activité scientifique et d'enseignement. Il ne reprend son activité qu'au cours de l'hiver 1862-1863. Après cet épisode, son état de santé demeure fragile : une bronchite et une phlébite l'affaiblissent considérablement, il souffre de vertiges et il fait souvent cours, assis dans un fauteuil d'où il peut voir son auditoire et un tableau noir, sur lequel un disciple est chargé d'écrire. Cela ne l'empêche pas d'être nommé professeur titulaire le , ce qui garantit qu'il restera à Berlin jusqu'à la fin de sa carrière. Lorsqu'il est titularisé, il donne des cycles de cours, qui durent en général deux ans et sont organisés en quatre semestres. Il y aborde les thèmes suivants : la théorie des fonctions analytiques, la théorie des fonctions elliptiques, la théorie des fonctions abéliennes et les applications des fonctions elliptiques à la géométrie et à la mécanique. Il consacre certains cours au calcul des variations, qui est une généralisation du calcul élémentaire des maximums et des minimums des fonctions d'une variable réelle, dans lequel les variables sont des fonctions. Il s'intéresse à la théorie des formes bilinéaires et quadratiques, laquelle fait partie de l'algèbre linéaire. Toutefois, ses découvertes les plus importantes concernent l'analyse : il s'y intéressait déjà lorsqu'il était élève-professeur du secondaire à Münster. Ses cours d'analyse durent jusqu'en 1889. Au cours de sa dernière leçon il expose une de ses grandes découvertes, le théorème d'approximation.
Karl Weierstrass est mort le des suites d'une pneumonie, à l'âge de quatre-vingt-un ans. Il est inhumé dans le , dans le centre de Berlin. En 1961, la construction du mur de Berlin a imposé de déplacer ses restes dans une nouvelle sépulture, située à quelques mètres de la première.
Le séminaire de mathématiques En 1859, Weierstrass et Kummer présentent une requête au ministère de la Culture concernant la création d'un séminaire de mathématiques, qui commence ses activités en 1860. Pendant l'année universitaire, les étudiants doivent suivre de nombreux cours de mathématiques, les plus fréquentés étant ceux de Kummer, Kronecker et, bien sûr Weierstrass. Kronecker aborde la théorie des nombres, les équations algébriques, les intégrales simples et multiples et la théorie des déterminants. Kummer s'intéresse à la géométrie analytique, à la mécanique, à la théorie des surfaces et à la théorie des nombres.