L'histoire des mathématiques en Europe au est caractérisée par le formidable développement que connaît la discipline qui se tourne vers la résolution de problèmes pratiques dans un contexte d'amélioration des échanges et des communications. L’intérêt des mathématiciens se concentre désormais sur des problèmes techniques précis, aboutissant à une nouvelle façon de faire des mathématiques, avec en particulier le passage des spéculations (les sciences théorétiquesVoir aussi Métaphysique (Aristote).) aux inventions et à l’émergence des constructions. Progressivement, l’idée de comprendre va remplacer celle d’expliquer et comme « on ne peut pas à la fois admirer et surpasser les anciens » le siècle va finalement rompre avec l’héritage antique.
Une situation favorable
L'Europe du offre aux savants des conditions propices à l'étude et à l'échange qui vont contribuer à la formidable expansion des sciences et des mathématiques.
C'est durant ce siècle que commencent à se constituer dans les capitales européennes des regroupant scientifiques et mathématiciens : l'académie dei Lincei à Rome en 1603, La Royal Society à Londres vers 1645, l'académie del Cimento à Florence en 1657 et l'académie royale des sciences de Paris en 1666. Au sein de ces académies, des scientifiques de tous bords se réunissent pour partager et confronter leurs idées. Ainsi l'académie royale de Paris regroupe sept mathématiciens (dont Huygens et Roberval) et six physiciens. L'État met à leur disposition des laboratoires et des moyens pour poursuivre leur recherche mais les académies ont aussi pour rôle de centraliser et valider les travaux et les mémoires qui leur sont envoyés de partout. Elles jouent ainsi un rôle fédérateur des savoirs.
L'importance de la Compagnie de Jésus durant cette période reste prépondérante. Garante d'une certaine orthodoxie, elle fut, certes, un frein au développement des idées nouvelles comme l'héliocentrisme de Galilée, mais elle fournit par ailleurs de nombreux mathématiciens de qualité (Clavius, Grégoire de Saint-Vincent, Saccheri, Ceva, Bachet de Méziriac…). Elle offre aux chercheurs la possibilité de se consacrer aux études ainsi qu'un réseau très étendu de savants et d'enseignants à travers toute l'Europe. C'est ainsi qu'elle forme des mathématiciens comme Descartes, Mersenne, Fontenelle ou Cassini. Les principes de l'Ordre préconisent un « devoir d'intelligence » mis au service de la connaissance et favorise ainsi la confrontation des idées.
Les cours royales, à l'instar de ce qui se pratiquait quelques siècles auparavant dans les cours persanes, regroupent chercheurs et mathématiciens autour de protecteurs qui leur permettent de travailler dans une relative sérénité.
Les communications à travers toute l'Europe se développent. Les échanges en langue nationale (allemand, anglais, français, italien) prennent de l'ampleur mais le latin reste encore pour ce siècle la langue d'échange privilégiée des savants. C'est en latin que Bacon publie son Novum Organum (1620) ou Leibniz ses Acta eruditorum. Le français devient à cette époque langue diplomatique et s'avère un vecteur important de communication et d'échange. Les mathématiciens de ce siècle communiquent abondamment par lettres, confrontant leurs idées et annonçant leurs publications. Nombre d'erreurs et d'imprécisions sont ainsi rapidement rectifiées, des embryons d'idée sont ainsi développés par une communauté internationale de mathématiciens. La correspondance du Minime Marin Mersenne est à ce point exemplaire car il sert d'intermédiaire entre les mathématiciens Descartes, Gassendi, Roberval et Fermat. Les avancées sur le calcul intégral (problème de la chaînette…) sont le fruit d'échanges épistolaires fructueux entre Bernoulli, Leibniz et Huygens. Les publications de périodiques se multiplient. Le Journal des savants est publié à Paris dès 1665, les Philosophical Transactions paraissent à Londres en 1665 et les Acta eruditorum à Leipzig en 1682. Mais les mathématiciens n'hésitent pas non plus à se déplacer et voyager pour rencontrer et dialoguer avec d'autres chercheurs européens. Descartes, Huygens, Mersenne, Leibniz parcourent ainsi l'Europe à la rencontre de leurs confrères. Les voyages à Paris, en Italie, en Hollande ou à Londres deviennent des passages obligés dans la formation des mathématiciens et permettent un brassage important des idées et des cultures.
Ainsi, tout contribue au développement et à la communication des idées nouvelles.
Des mathématiques au service des sciences et des techniques L'idée de nouveau thumb|Francis Bacon.
Au on passe des spéculations aux inventions. L’époque est habitée par l’idée de faire du nouveau, c’est la naissance des méthodes, à l'image du Discours de la méthode de René Descartes, et qui sont un « art d’inventer »L'expression est de Leibniz.. L’objectif est d’obtenir des sciences actives donnant la possibilité d’être « comme maître et possesseur de la nature »L’expression est de René Descartes.. Francis Bacon publia son Novum Organum en 1620, pour un nouvel Organon en référence au travail d’Aristote, projet ambitieux s'il en est. Dans ses écrits, il chercha à persuader ses contemporains de rompre avec les anciens et précisa la méthode baconienne destinée à obtenir des créations nouvelles. Les anciens posaient des grands principes (voir le Traité des catégories d’Aristote) ; la méthode de Bacon est elle fondée sur l’induction : à partir du particulier, il s’agit d’énoncer des axiomes pour revenir au particulier car Bacon cherche à élaborer une science active, une science en spirale très éloignée de ce que présente Aristote dans l’Organum.
Comprendre ou expliquer ?
Si pour Aristote la connaissance scientifique avait pour finalité d’expliquer, de déterminer les causes, il s’agissait désormais de comprendre c’est-à-dire de déterminer comment cela fonctionne.
Par exemple, dans la chute d’un corps il s’agissait pour Aristote de déterminer pourquoi cela tombe, quelle était la cause, alors assimilée au principe selon lequel le grave « rejoint son lieu naturel ». Avec Galilée la question devient comment se fait cette chute. Galilée travaillait aux arsenaux de Venise, il avait en vue des problèmes techniques précis comme la trajectoire d’un boulet de canon ou sa portée maximum. Si l’accélération du mouvement est connue depuis Aristote, Galilée ne se demande plus pourquoi la vitesse augmente mais bien comment elle augmente c’est-à-dire dans quelle proportion. Pour cela il cherche à quantifier, à numériser, en commençant par récuser la distinction antique entre le naturel et l’artificiel.
La naissance du courbe et de l'objet cinématique
thumb|Le point mobile engendre une cycloïde droite.
Galilée travaillait sur la trajectoire du boulet de canon tiré, problème qui induit une réflexion au sujet de la courbe et bientôt du courbe.
Dans les mathématiques grecques il est fait état d’environ 12 courbes particulières étudiées et correspondant à des problèmes géométriques : c’est ainsi que les coniques ont été introduites pour résoudre le problème géométrique de la duplication du cube
Au , l’étude concerne la courbe en général qui n’est plus uniquement un problème géométriquePar exemple Archimède définit la spirale de manière géométrique, non cinématique comme la combinaison d’un mouvement de rotation et de translation. et devient un problème cinématique, c’est-à-dire où le mouvement est concerné ce qui fait rupture par rapport à la géométrie grecque. Dans ce contexte la parabole devient un objet cinématique et non plus exclusivement statique.
Galilée et l’expérimentation, en rupture avec les anciens thumb|right|Galileo Galilei, dit Galilée.
Lorsque Niccolo Fontana Tartaglia étudie la question des artilleurs et dans son ouvrage de 1537 sur la nova sciensa, il cherche à définir l’angle d’inclinaison du canon pour avoir une portée maximum. Cependant il part encore de la classification d’Aristote basée sur la différence entre mouvement violent et mouvement naturel avec la théorie de l'impetus. Un siècle plus tard, Galilée n’hésite pas à mêler mouvement violent et naturel. Il traite également les problèmes des artilleurs tels la portée selon l’inclinaison du canon. Galilée est proche des hommes de l’art comme le puisatier, il propose des tables de tir ou une méthode d’utilisation de la hausse. C’est aussi à cette époque que s’élabore définitivement la notion de fonction. Galilée quitte l’enseignement de l’Université pour se consacrer à ses recherches et, dans une lettre au secrétaire du grand duc de Toscane, il élabore un véritable programme de recherche où la technique est bien présente aux côtés de problèmes plus mathématiques ou purement physiques. Pour lui, il n’est plus question d’étudier seulement la physis c’est-à-dire ce qui est naturel dans la classification d’Aristote mais aussi ce qui est artificiel comme le mouvement violent. Ainsi naissent les problématiques relatives au temps et à l’espace parcouru, à la mesure de la distance. Un de ces prédécesseurs Nicole Oresme, réalisant des travaux sur des thèmes proches, s’intéressa à la vitesse mais pas à la distance. Il est manifeste que Galilée a dans l’idée d’expérimenter car, si le temps et la distance sont accessibles, en reliant les deux on obtient la loi de chute des graves. Galilée vérifie par une expérience que la distance est proportionnelle au carré des temps et s’abstient de réfléchir sur les causes.
René Descartes et l'optique géométrique thumb|René Descartes, d'après Frans Hals.
René Descartes était passionné par les problèmes pratiques, les problèmes d’ingénieurs et se situait également dans une posture de critique des anciens. Il travailla sur les courbes optiques telles l'anaclastiqueSelon lEncyclopédie de Diderot et d'Alembert, l'anaclastique est la partie de l'optique qui a pour objet les réfractions. Les courbes anaclastiques sont selon Descartes « les courbes qui permettent par réfraction de rompre (Klao en grec, briser) des rayons parallèles pour les faire converger en un point ». de l’ingénieur Cornier de Rouen. Il s’agissait de déterminer la forme d’un dioptre (verre optique) de telle sorte que les rayons de lumière arrivant de manière parallèle vont se réfracter en un point unique. Dans cette recherche, Descartes trouve la loi de la réfraction et abandonne l’idée de trouver la cause de cette réfraction. Pour cela il résout un problème mathématique de type « inverse des tangentes » (on connaît une propriété des tangentes et on cherche la courbe correspondante) et qui donne la forme de la courbe et donc du verre optique. On sait que deux formes sont possibles : l’hyperbole et l’ellipse. Descartes abandonne à cette occasion la définition des Anciens comme intersection d’un cône et d’un plan pour préférer la définition issue de la manière dont les jardiniers dessinent l’ellipse et l’hyperbole dans leurs jardins. Par suite, Descartes donnera des recommandations pour construire les machines à tailler ces verres. Pour autant, après résolution du problème de l’anaclastique, Descartes traite le problème des ovales que lui se poseCe n’est plus un problème issu du monde technicien mais une spéculation théorique à son initiative.. Il s’agit ici de déterminer la forme d’un dioptre de façon que des rayons partent d’un point, rencontrent le verre et se rejoignent en un même point. Descartes trouve une courbe à trois foyers qui va bien au-delà des mathématiques des anciens et aboutit à sa méthode d’inversion des tangentes donnée au livre II. Dans cette recherche, il rend hommage à Kepler, événement rare dans l’œuvre de Descartes.
Christian Huygens ou le « secret des longitudes »