Une équation différentielle linéaire d'ordre 2 est une équation différentielle de la forme :
où est une fonction inconnue (d'une variable) et , , et quatre fonctions données (de la même variable). La variable et les fonctions peuvent être réelles ou complexes.
Ces équations différentielles ne peuvent pas toutes être résolues explicitement mais plusieurs méthodes existent pour résoudre celles qui peuvent l'être, ou à défaut pour en étudier les solutions qualitativement. Les plus fréquentes et les plus simples à résoudre sont les équations à coefficients constants (où , et sont des constantes).
La linéarité de l'équation a pour conséquence qu'il est possible d'appliquer des procédés de superposition de solutions, et d'exploiter des résultats d'algèbre linéaire. Un rôle particulier est dévolu aux équations différentielles homogènes (où ). Il existe une théorie générale des équations différentielles linéaires (vectorielles), mais celles étudiées dans cet article comptent parmi les plus simples et les plus fréquemment rencontrées, notamment en physique.
Équation différentielle homogène
L'équation est homogène lorsque . Dans ce cas, une somme de deux solutions de l'équation est encore solution, ainsi que le produit d'une solution par une constante. L'ensemble des solutions est donc un espace vectoriel et contient notamment une solution évidente, la fonction nulle.
À coefficients constants
Elles sont de la forme où , et sont réels ou complexes, non nul (on peut toujours, en divisant par , se ramener au cas ).
On les rencontre, entre autres, dans la modélisation de mouvement avec force de rappel (type ressort), avec ou sans amortissement ou pendule idéal ou encore dans les circuits électriques comportant une inductance et un condensateur.
On cherche des solutions sous forme exponentielle, c'est-à-dire telles que . Une telle fonction sera solution de l'équation différentielle si et seulement si est solution de
Cette équation est appelée équation caractéristique de l'équation différentielle. Cas réel Il s'agit du cas où les coefficients sont des réels et où les solutions sont cherchées parmi les fonctions à valeurs réelles. Comme pour toute équation du second degré, trois cas se présentent selon le signe du discriminant de l'équation caractéristique.
Si L'équation caractéristique possède deux solutions réelles et .
Les solutions sont alors les fonctions définies sur ℝ par où et sont deux réels.
Pour déterminer ces deux constantes, il est naturel de donner deux informations sur la fonction. Cela se fait en général en donnant des conditions initiales en un point , c'est-à-dire en précisant les valeurs et de et à cet instant. Dans ce cas l'existence et l'unicité de la solution vérifiant ces conditions initiales sont garanties. Pour de nombreux problèmes physiques, il est fréquent de donner des conditions aux limites en précisant les valeurs et aux instants et . Il y a alors fréquemment existence et unicité des solutions, mais ce n'est pas toujours vrai.
Si L'équation caractéristique a une solution double .
Les solutions sont alors les fonctions définies sur ℝ par où et sont des réels quelconques.
Pour déterminer et , il faut, comme dans le cas précédent posséder deux informations sur .
Si L'équation caractéristique a deux solutions complexes conjuguées distinctes, et .
Les solutions sont alors les fonctions définies sur ℝ par où A et B sont deux réels quelconques.
Remarque : on peut écrire cette solution sous la forme : , et sont deux réels quelconques (cette forme est parfois plus pratique). On peut également changer la fonction cosinus en fonction sinus, la solution restant correcte.
La détermination de et (ou et ) se fait, comme dans les cas précédents, par la donnée de deux informations sur .
Cas complexe Dans le cas où les coefficients sont complexes et où les solutions sont cherchées parmi les fonctions de la variable réelle à valeurs complexes, il ne reste alors que deux cas à étudier : Si le discriminant est non nul, l'équation caractéristique possède deux racines distinctes : et et les fonctions de ℝ dans ℂ solutions de l'équation différentielle sont les fonctions définies par où et sont deux complexes quelconques. Si le discriminant est nul, l'équation caractéristique ne possède qu'une seule solution et les solutions sont les fonctions définies sur ℝ par où et sont des complexes quelconques.
La détermination des constantes se fait, comme dans les cas précédents, par la donnée de deux informations sur .
Équation à coefficients non constants
Il s'agit d'une équation de la forme , où cette fois , et sont des fonctions numériques, supposées continues sur l'intervalle d'étude I, la fonction ne s'annulant en aucun point de (on peut toujours, en divisant par , se ramener au cas ).
Il n'existe pas d'expression générale des solutions d'une telle équation. C'est pour cette raison qu'au furent introduites de nombreuses fonctions spéciales (fonctions de Bessel, fonction d'Airy…) définies comme solutions d'équations qu'il est impossible de résoudre explicitement. Toutefois, dès lors qu'une solution particulière (non nulle) de l'équation est connue, il est possible de la résoudre complètement.
Le théorème de structure
Le théorème de Cauchy-Lipschitz affirme que l'ensemble S des solutions de l'équation constitue un espace vectoriel de dimension deux. Dès lors, résoudre l'équation différentielle revient à exhiber deux fonctions solutions non proportionnelles : elles formeront une base de l'espace S de solutions. Une telle base est appelée système fondamental de solutions.
En outre, pour tout point de I, l'application de conditions initiales en
constitue un isomorphisme d'espaces vectoriels.
Le wronskien
Étant donné deux solutions de l'équation, leur wronskien est défini comme la fonction
En utilisant les propriétés d'annulation du déterminant, l'isomorphisme de conditions initiales peut être réécrit en termes de wronskien : les deux solutions forment un système fondamental si et seulement si leur wronskien est non nul en un point. Et dans ce cas, le wronskien ne s'annule en aucun point.
Un calcul direct montre que le wronskien de deux solutions vérifie la relation
qui est un cas particulier de la formule de Liouville.
Il s'agit d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1 (sans second membre) qu'on sait résoudre. Donc la valeur du wronskien est connue, à une constante multiplicative près en notant une primitive de la fonction , on obtient pour une certaine constante .
Application à la résolution
Une application fondamentale de cette propriété est la possibilité de résoudre l'équation si une solution non nulle est connue. En effet la relation peut maintenant se lire comme une nouvelle équation différentielle linéaire d'ordre 1, d'inconnue .
Exemple Soit l'équation à résoudre sur Il s'agit bien d'une équation vérifiant les conditions demandées avec les fonctions , , continues sur l'intervalle d'étude et jamais nulle. La fonction définie par est solution évidente. Le wronskien vérifie l'équation ; il est de la forme C'est bien une équation différentielle linéaire d'ordre 1, avec la fonction non nulle sur l'intervalle. Elle a une solution de la forme où est une nouvelle constante arbitraire. Nous venons d'établir que toutes les solutions de l'équation d'ordre 2 initialement considérée sont de cette forme, on y reconnaît bien la description d'un espace vectoriel de dimension 2 de solutions, un système fondamental étant donné par les solutions et .
Équation avec second membre
Application du principe de superposition
Lorsque l'équation différentielle possède un second membre ( est une fonction non nulle), il reste possible d'exploiter ce qui précède. L'équation obtenue en remplaçant par la fonction nulle est appelée équation homogène associée à l'équation différentielle ; on la suppose résolue.
Il suffit alors de trouver une solution de l'équation avec second membre, pour les connaître toutes. En effet, les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions où est une solution générale de l'équation homogène associée.
Si le second membre est la somme de deux fonctions et : , on peut chercher une solution particulière de l'équation différentielle de second membre : , puis une solution particulière de l'équation différentielle de second membre : . La somme de ces deux solutions particulières est solution particulière de l'équation de départ. Ce principe se généralise facilement au cas où est la somme de plus de deux fonctions.
On remarquera que les constantes d'une solution doivent être déterminées en toute fin de résolution, lorsque l'on a additionné la solution générale de l'équation homogène et la (ou les) solution(s) particulière(s) de l'équation (ou des équations) inhomogènes.
Recherche de solutions ayant une forme particulière
Si , et sont des constantes (a non nul) et si d est produit d'une fonction polynomiale, d'une fonction trigonométrique et d'une fonction exponentielle, on cherche une solution particulière de la même forme. Plus précisément : Si d est de la formeoù A et B sont des polynômes de degré inférieur ou égal à n et où m et ω sont des réels, il existe une solution de la formeoù α et β sont des polynômes de degré inférieur ou égal à n et p peut prendre trois valeurs : Par rapport à l'équation caractéristique Valeur de p m + ω n'est pas racine de l'équation caractéristique p = 0 m + ω est racine simple de l'équation caractéristique p = 1 m + ω est racine double de l'équation caractéristique p = 2
Ceci inclut le cas où les « polynômes » A et B sont simplement des constantes (n = 0), dont l'une peut être nulle, et/ou d ne contient pas d'exponentielle (m = 0) et/ou pas de fonction trigonométrique (ω = 0).
Prenons l'équation différentielle suivante :
où ω est une constante non nulle. On est dans le cas p = 0. On cherche donc une solution particulière constante :
On calcule les dérivées par rapport à :
L'équation (E) devient alors :
et l'on trouve alors une solution de l'équation inhomogène :
Si on a une équation du type
avec non nul, on est dans le cas p = 1. On cherche donc une solution particulière de la forme Kt.
Soit une équation différentielle de la forme
(c'est l'équation différentielle régissant un oscillateur harmonique périodique qui subit des frottements en présence d'une force extérieure).
On sait qu'il existe dans ce cas une solution de la forme :
On peut utiliser la notation de l'exponentielle complexe en prenant . En posant , on obtient telle que la partie réelle de soit la solution de l'équation différentielle considérée. On calcule alors les dérivées en temps :
On injecte ces trois équations dans l'équation différentielle et on trouve :
On simplifie par les deux exponentielles (qui sont non nulles) :
et l'on trouve alors que
Ainsi, la constante est égale au module de ce nombre complexe et la phase à son argument :
et
Ainsi, une solution particulière de l'équation inhomogène (E) est
Il est à noter que cette « méthode de l'exponentielle complexe » ne peut pas être appliquée pour une équation de la forme
Dans ce cas, il faut linéariser l'expression en utilisant les développements limités.
Des considérations physiques (oscillations forcées, résonance) peuvent aussi guider vers une forme particulière de solution.
Méthode générale
Il existe un procédé systématique de recherche des solutions, connu sous le nom de méthode de variation des constantes. Elle peut être justifiée par la théorie générale des équations différentielles linéaires.
Soit l'équation , soient deux solutions indépendantes de l'équation homogène (donc un système fondamental de solutions). Alors les solutions de l'équation avec second membre sont les fonctions de la forme , où les fonctions sont de classe et données par le système