Julius Wilhelm Richard Dedekind (né le à Brunswick et mort le dans la même ville) est un mathématicien allemand et un proche disciple d’Ernst Kummer en arithmétique. Pionnier de l'axiomatisation de l'arithmétique, il a proposé une définition axiomatique de l'ensemble des ainsi qu’une construction rigoureuse des nombres réels à partir des nombres rationnels (méthode des « coupures » de Dedekind).
Biographie Années de formation Julius Wilhelm Richard Dedekind naît au sein d'une famille cultivée, il est le fils cadet de Caroline Emperius et de , un juge qui avait enseigné au . Il a deux sœurs, Julie et Mathilde et un frère, Adolf. Malgré les origines modestes de son père, il a une enfance exempte de difficultés économiques. Dès son plus jeune âge, Richard fait preuve d'une oreille musicale extraordinaire. Le climat intellectuel dans lequel baigne le foyer alimente sa passion pour la musique, qu'il conservera toute sa vie : il apprend à jouer du piano et du violon entre deux jeux d'enfants. À l'instar de Carl Friedrich Gauss avant lui, il démarre ses études au . La physique et la chimie piquent au vif sa curiosité, tandis que les mathématiques le laissent un peu froid. Néanmoins, avec le temps, il juge peu fiables les raisonnements employés dans ses disciplines favorites, de sorte que la pureté et la rigueur de la méthode mathématique finissent par le séduire. Les mathématiques le passionnent tellement qu'elles éclipsent la musique et deviennent sa grande passion. En 1848, désireux de poursuivre ses études dans ce domaine, Dedekind intègre le Collegium Carolinum de Brunswick, qui jouit alors d'une certaine réputation. Il y reçoit une excellente formation, car les diverses matières y sont enseignées à un niveau poussé. À l'occasion du jubilé organisé en 1849 pour les cinquante ans du doctorat de , la direction du Collegium lui adresse une lettre de félicitations, dans laquelle il est écrit que Gauss , ce qui suscite immédiatement la curiosité de Dedekind. Il est conquis par ses idées dès qu'il étudie la représentation géométrique des nombres complexes, ce qui l'amène à se plonger dans son œuvre maîtresse, les Disquisitiones arithmeticae (1801) dont il entame l'étude.
En 1850, Dedekind commence ses études universitaires à Göttingen et assiste aux cours de Moritz Stern sur le calcul différentiel et intégral, qui ne lui apprennent pas grand-chose de plus que ce qu'il a appris au Collegium Carolinum. Toutefois, Stern influence indirectement et positivement la formation de nombreux étudiants de Göttingen, car il a créé le séminaire de physique et de mathématiques avec Weber. Dedekind y participe presque tout de suite, ce qui lui permet de découvrir les idées novatrices de Weber, de peaufiner sa connaissance de la théorie des nombres auprès de Stern et de rencontrer Bernhard Riemann, dont il devient l'assistant en 1851. Au Collegium Carolinum, Dedekind avait eu vent des prouesses mathématiques de Gauss, dont il fait ensuite la connaissance à Göttingen. Au deuxième semestre, il s'estime suffisamment compétent pour assister aux conférences du . En plus de présenter les éléments essentiels de la méthode des moindres carrés, ces conférences jettent des passerelles vers d'autres branches des mathématiques, comme le calcul des probabilités et les intégrales définies. La participation de Dedekind aux conférences sur les moindres carrés lui sert de et Gauss accepte peu après de diriger sa thèse de doctorat. Partant du domaine de recherche suggéré par son tuteur, il rédige sa thèse Über die Theorie der Eulerschen Integrale (Sur la théorie des intégrales d'Euler), qu'il soutient avec brio en 1852. Sa thèse est adroite et autonome mais elle ne montre aucun talent spécial à l'inverse des travaux postérieurs de Dedekind. Le mathématicien écossais Eric Temple Bell cite Gauss commentant sa thèse : . Âgé d'un peu plus de vingt ans, Richard Dedekind obtient le titre de docteur, devenant ainsi le plus jeune et le dernier à l'obtenir sous la tutelle du . Après 1852, il se consacre pendant quelques années à un projet de recherche qui lui permet de décrocher l'habilitation. Après avoir passé deux ans à Berlin, il présente en , en présence de Gauss et de Weber, le fruit de ses recherches, une thèse intitulée . Une fois l'habilitation en poche, il obtient le titre de Privatdozent à Göttingen, quelques semaines après que son ami Bernhard Riemann l'a obtenue grâce à deux exposés mémorables.
Göttingen Le , Carl Friedrich Gauss décède. L'université de Göttingen crée la chaire de mathématiques qui échoit à Gustav Lejeune Dirichlet qui enseignait alors, sans répit, à l'université de Berlin et à l'Académie militaire de Prusse à Berlin. L'arrivée de Dirichlet marque un point d'inflexion qualitatif pour les mathématiques à Göttingen, non seulement parce que c'est un excellent professeur, mais aussi parce qu'il est porteur d'un esprit scientifique modelé par son séjour en France. Bernhard Riemann avait suivi à l'université de Berlin les cours de Dirichlet et, avec le temps, leur relation avait cessé d'être professionnelle et ils s'étaient liés d'amitié. Ainsi, lors d'un bref passage à Göttingen en 1852, Dirichlet l'avait aidé à peaufiner sa thèse d'habilitation. Dedekind se joint rapidement à eux pour former un , partageant avec les deux autres les mêmes centres d'intérêt.
Au cours de l'année universitaire 1854-55, Dedekind donne ses premiers cours en tant que Privatdozent, avec pour thèmes la géométrie et le calcul des probabilités. Les années suivantes, il enseigne l'algèbre supérieure, la division du cercle (cyclotomie) et la théorie des groupes. Il enseigne aussi la théorie de Évariste Galois dès 1857-58, étant ainsi le premier à aborder un thème aussi novateur dans une université allemande. En assistant aux cours donnés par Dirichlet à Göttingen (théorie des nombres, théorie du potentiel, équations aux dérivées partielles et intégrale définie), il peut non seulement se familiariser avec ces disciplines , mais adopte aussi un style mathématique différent de celui de Gauss. Dedekind affirme que ce sont les échanges constants avec Dirichlet qui influencent le plus son développement intellectuel.
L'amitié entre Dedekind et Riemann remonte au séminaire supervisé par Weber et Moritz Stern, et devient encore plus forte lorsque tous deux obtiennent le titre de Privatdozent. Sur le plan mathématique, Dedekind assiste aux cours que donne son ami sur les fonctions abéliennes et elliptiques, ainsi qu'aux cours sur la théorie des fonctions de variable complexe. Dedekind souhaite quitter Göttingen malgré le climat fertile de partage qui y règne, car il espère décrocher un poste lui assurant un salaire fixe et, ainsi délivrer sa famille du poids qu'il représente. L'occasion se présente en 1858 quand Joseph Ludwig Raabe quitte l'école polytechnique de Zurich. Riemann et Dedekind postulent tous les deux et, après l'avis d'une commission d'observation suisse envoyée à Göttingen, la décision est prise assez vite : comme l'écrit Dirichlet lui-même, . L'été de la même année, Dedekind fait ses valises, direction Zurich.
Zurich Déménager à Zurich en Suisse est un tournant radical dans la vie de Dedekind. D'une part, il quitte sa terre natale ; d'autre part, il s'éloigne de deux de ses amis les plus proches, à la fois sur les plans personnel et scientifique : se séparer de Riemann et Dirichlet ne dut pas être facile pour lui. En revanche, la Suisse lui offre un salaire fixe qui lui permet de vivre sereinement sans dépendre de l'aide financière de son frère.
À son arrivée en Suisse, Dedekind se voit demander par la direction de l'école de préparer un cours d'introduction au calcul différentiel. C'est lors de ce séjour suisse, plus précisément le , qu’il définit les coupures de Dedekind, une nouvelle idée pour représenter les nombres réels comme une division des nombres rationnels. Un nombre réel est une coupure qui sépare les nombres rationnels en deux ensembles, un ensemble supérieur et un ensemble inférieur. Par exemple, la racine carrée de 2 est une coupure entre tous les nombres négatifs ou ayant un carré inférieur à 2 et ceux positifs ayant un carré supérieur à 2. C'est aujourd'hui une des définitions standards des nombres réels. Bien qu'extrêmement satisfait de sa découverte , il ne la publie pas immédiatement, mais attend quatorze ans pour le faire. Elle apparaît ainsi en 1872 dans la monographie Continuité et nombres irrationnels, dans laquelle il développe ses découvertes sur la nature des nombres réels.
Son séjour à Zurich est marqué par deux tristes nouvelles. En , il apprend la mort de Dirichlet et de son épouse Rebecka Mendelssohn quelques mois plus tôt. Le décès de son ami et mentor le pousse à rentrer à Göttingen où il apprend que son maître l'a désigné comme exécuteur testamentaire de ses documents, ce qui implique notamment de préparer de nombreux manuscrits en vue de les publier. Le , Riemann devient titulaire de la chaire de mathématiques de Göttingen et apprend peu après qu'il est élu membre de l'académie des sciences de Berlin en reconnaissance de son œuvre scientifique de premier ordre. Riemann accepte le poste et se met en route pour la capitale avec son ami Dedekind. À Berlin, Dedekind rencontre Ernst Kummer et Leopold Kronecker, dont les recherches en théorie des nombres font d'eux les héritiers de la tradition initiée par Gauss. À son retour de Berlin, Dedekind poursuit son activité pédagogique à Zurich pendant deux années universitaires supplémentaires. En , il reçoit une invitation du de Brunswick, rénové depuis peu et transformé en école polytechnique. Il accepte la proposition à la fin du même mois. Le poste prévoit un maximum de douze heures hebdomadaires d'enseignement de matières telles que la géométrie analytique, l'analyse mathématique, le calcul différentiel et intégral, et la mécanique analytique.
Brunswick Une vie paisible thumb|upright|Dedekind, avant 1886 De retour à Brunswick, Dedekind a plus de temps libre pour préparer l'édition des manuscrits de Dirichlet. Il se dédiait corps et âme à cette tâche depuis 1859. Deux ans plus tard, il avait publié un article intitulé Recherches sur un problème d'hydromécanique dans les Mémoires de l'Académie royale de Göttingen. Mais il se consacrait surtout à l'organisation et à l'édition du livre que préparait Dirichlet sur la théorie des nombres et qu'il n'avait pas pu rédiger en raison de son décès prématuré. Enfin, la première édition des Leçons sur la théorie des nombres paraît en 1863. Son importance réside avant tout dans le fait que Dirichlet décrit de manière bien plus compréhensible que Gauss bon nombre des idées que ce dernier a abordées dans ses Disquisitiones arithmeticae.