En mathématiques, et plus précisément en algèbre, la théorie de Galois est l'étude des extensions de corps commutatifs, par le biais d'une correspondance avec des groupes de transformations sur ces extensions, les groupes de Galois. Cette méthode féconde, qui constitue l'exemple historique, a essaimé dans bien d'autres branches des mathématiques, avec par exemple la théorie de Galois différentielle, ou la théorie de Galois des revêtements.
Cette théorie est née de l'étude par Évariste Galois des équations algébriques. L'analyse de permutations des racines lui a permis non seulement de prouver à nouveau que l'équation générale de degré au moins cinq n'est pas résoluble par radicaux (résultat connu sous le nom de théorème d'Abel-Ruffini), mais surtout d'expliciter une condition nécessaire et suffisante de résolubilité par radicaux.
Les applications sont très variées. Elles s'étendent de la résolution de vieilles conjectures comme la détermination des polygones constructibles à la règle et au compas démontrée par le théorème de Gauss-Wantzel à la géométrie algébrique à travers, par exemple, le théorème des zéros de Hilbert.
Histoire Genèse La théorie de Galois voit ses origines dans l'étude des équations algébriques. Elle se ramène à l'analyse des équations polynomiales. Une approche par des changements de variables et des substitutions a permis à des mathématiciens comme Al-KhwârizmîAl-Khwârizmî, Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison. (783-850), Tartaglia (1499-1557), Cardan Girolamo Cardano, Ars Magna, 1554. (1501-1576) ou Ferrari (1522-1565) de résoudre tous les cas jusqu'au degré quatre. Cette approche ne permet pas d'aller plus loin et deux siècles seront nécessaires pour apporter de nouvelles idées.
vignette|redresse|Carl Friedrich Gauss (1777-1855).
Gauss et les polynômes cyclotomiques
Gauss utilise les polynômes cyclotomiques Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones arithmeticae, 1801. pour apporter une contribution à un problème ouvert depuis l'antiquité : celui de la construction à la règle et au compas de polygones réguliers. Il construit en particulier l'heptadécagone, polygone régulier à dix-sept côtés. Son approche, typiquement galoisienne bien avant la découverte de la théorie, lui vaut le surnom de « prince des mathématiciens ».
Son travail est complété par WantzelVoir les articles « Théorème de Wantzel » et « Théorème de Gauss-Wantzel »., qui donne en 1837 une condition nécessaire et suffisante de constructibilité des polygones réguliers et démontre l'impossibilité de la trisection de l'angle et de la duplication du cube.
vignette|redresse|Niels Abel (1802-1829).
Théorème d'Abel-Ruffini
Dans le cas général, l'équation quintique n'admet pas de solution par radicaux. C'est la raison pour laquelle une démarche à l'aide de substitutions et changements de variables devient stérile. LagrangeJoseph-Louis Lagrange, Réflexions sur la résolution algébrique des équations, 1770. (1736-1813) et VandermondeAlexandre-Théophile Vandermonde, Mémoire sur la résolution des équations, 1771. (1735-1796) utilisent la notion de permutation à la fin du et pressentent l'importance de cet outil dans le cadre de l'équation polynomiale.
Ruffini P. Ruffini, Teoria Generale delle Equazioni, in cui si dimostra impossibile la soluzione algebraica delle equazioni generali di grado superiore al quarto, 1799. (1765-1822) est le premier à prévoir l'impossibilité de la solution générale et que la compréhension du phénomène réside dans l'étude des permutations des racines. Sa démonstration reste néanmoins peu rigoureuse et partielle. Le mathématicien norvégien Abel publie une démonstrationNiels Henrik Abel, Mémoire sur les équations algébriques, où l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré, 1824. en 1824 qui finit par convaincre la communauté scientifique. Elle ne propose pas à l'époque de condition nécessaire et suffisante de résolubilité.
vignette|redresse|Évariste Galois (1811-1832).|alt=Portrait noir et blanc (dessin) d'un jeune homme.
Évariste Galois
En étudiant le problème de l'équation algébrique, Galois met en évidence les premiers éléments de la théorie qui porte maintenant son nom. Ses écrits sont perdus ou tombent dans l'oubli. Un mémoireÉvariste Galois, Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux, texte manuscrit de 1830, publié en 1846 au Journal de mathématiques pures et appliquées, en ligne sur le site bibnum avec une analyse par Caroline Ehrhardt. est finalement retrouvé par Liouville (1809-1882) qui le présente à l'Académie des sciences en 1843. Les travaux de Galois accèdent alors in extremis à la célébrité.
Galois met en évidence la correspondance univoque des sous-corps d'une extension finie, avec les sous-groupes d'un certain groupe de permutations qu'il associe à cette extension, appelé aujourd'hui groupe de Galois. L'étude des propriétés des extensions finies se ramène alors à l'étude de leur groupe de Galois. Armé de cet instrument profondément novateur et puissant, Galois est en mesure de donner une condition nécessaire et suffisante pour la résolution d'une équation algébrique au moyen de radicaux. Il emploie ensuite sa théorie pour établir des théorèmes particuliers sur certaines équations algébriques : par exemple, il démontre (fait énoncé sans preuve par Abel) que pour qu'une équation de degré premier soit résoluble par radicaux, il faut et il suffit que toutes ses racines soient fonctions rationnelles de deux d'entre elles. De même, il démontre que l'équation générale de degré supérieur à 4 ne peut être résolue par radicaux. Pour ces démonstrations, Galois utilise intensivement la structure de groupe, introduite par Lagrange, Cauchy, Ruffini et Abel dans la théorie des équations (comme pour ses prédécesseurs, les groupes envisagés par Galois ne sont pas des groupes abstraits, définis par un ensemble et une loi, mais des groupes de permutations). De plus, pour obtenir des indices qui varient d'une certaine manière, Galois est conduit à inventer la théorie des corps finis, et à en développer à peu près toutes les propriétés élémentaires classiques. De la sorte, il peut faire varier les indices des variables dans des corps finis, et étudier des équations particulières qu'il nomme « primitives ».
La démarche fonctorielle de Galois, particulièrement novatrice, est à l'origine de l'algèbre moderne. Liouville en parle dans les termes suivants :
Structures algébriques
La notion de groupe est issue de la théorie des substitutions pour la résolution des équations algébriques, à laquelle ont contribué Joseph-Louis Lagrange, Alexandre-Théophile Vandermonde, Carl Friedrich Gauss, Paolo Ruffini, Niels Henrik Abel et Augustin Louis Cauchy. Ce dernier considère un « ensemble » de permutations d'un « ensemble » fini (les notions ensemblistes ne sont pas encore connues, c'est pourquoi les guillemets s'imposent), muni de la composition des applications, et dégage les propriétés de cette loi interne (élément neutre, transitivité, éléments permutables, etc.). Il publie vingt-cinq articles sur les « groupes » (dans la terminologie actuelle) dont un sur son célèbre théorèmeAugustin Louis Cauchy, « Sur le nombre de valeurs égales ou inégales que peut acquérir une fonction de n variables indépendantes, quand on permute ces variables entre elles d'une manière quelconque », C. R., t. XXI, p. 593 (15 septembre 1845), .. Mais l'apport majeur est dû à Galois, lequel est le premier à dégager la notion de sous-groupe distingué Hans Wussing, The Genesis of the Abstract Group Concept, 1984, réimpr. Dover 2007, p. 105. et à qui revient la première idée de la notion de représentation linéaire d'un groupeN. Bourbaki, Algèbre, Hermann, 1970, chap. I, p. 162.. C'est également sous sa plume qu'apparaît le terme groupe d'une équation algébriqueJean Dieudonné, Abrégé d'histoire des mathématiques, Hermann, 1978, p. 77.. Après la publication de ses travaux par Joseph Liouville en 1846, ceux-ci ont commencé à être compris par la communauté mathématique. Cayley parvient en 1854 à la notion d'un groupe abstrait., dont la première définition claire est donnée par Walther Dyck en 1882.. En 1869, dans un article paru dans les ., puis, avec de légères modifications, dans son livre, . publié en 1870, Jordan diffuse largement les idées de Galois et donne une caractérisation plus maniable que celle de Galois de la notion de groupe résoluble, p. 124.. En 1893, Weber fait un exposé synthétique de la théorie des groupes..
D'autres structures sont mises en évidence, particulièrement en Allemagne. Indépendamment des travaux de Galois, Kummer étudie Ernst Kummer, « Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren », J. reine angew. Math., vol. 35, 1847, . des anneaux et découvre l'ancêtre de la notion d'idéal. Kronecker et Dedekind développent les prémisses de la théorie des anneaux et des corpsRichard Dedekind, Sur la théorie des nombres entiers algébriques, 1871.. Kronecker établit le pont entre les écoles française et allemande. Il donne la définition moderne de groupe de Galois à partir d'automorphismes de corps.
Théories de Galois vignette|upright=0.9|Icosaèdre. Un nouvel axe d'analyse enrichit la théorie de Galois. En 1872, Klein (1849-1925) se fixe comme objectif de classifier les différentes géométries de l'époque. Il dégage, dans son célèbre programme d'Erlangen, le principe général qu'une géométrie est définie par un espace et un groupe opérant sur cet espace, appelé groupe des isométries. Un pont est ainsi établi entre la théorie des groupes et la géométrie. Ces premiers groupes correspondent à des groupes de Lie et n'appartiennent pas directement à ceux de la théorie de Galois.
En 1884, Klein remarque Felix Klein, Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflôsung der Gleichungen fünften Grades, Teubner, Leipzig, 1884. que le groupe des isométries laissant invariant l'icosaèdre est isomorphe au groupe de Galois d'une équation quintique. La théorie de Galois s'étend à la géométrie algébrique. Les groupes de Galois prennent alors la forme de revêtements aussi appelés revêtement de Galois. Hilbert (1862-1943) étudie les corps de nombres quadratiques et apporte une contribution majeure à la théorie en démontrant David Hilbert, « Über die Theorie des relativ-quadratischen Zahlkörpers », Math. Ann., vol. 51, 1899, . son célèbre théorème des zéros. Ce théorème possède aussi une interprétation géométrique sur les variétés algébriques. La théorie est maintenant enrichie d'une nouvelle branche : la théorie de Galois géométrique, qui s'avère particulièrement féconde.
Les travaux de Hilbert ouvrent d'autres branches de la théorie de Galois. Le théorème des zéros permet l'étude des premiers groupes de Galois infinis. Son théorème d'irréductibilité ouvre la problématique inverse. Elle s'énonce de la manière suivante : si G est un groupe alors est-il le groupe de Galois d'une extension ?
Enfin les travaux de Picard (1856-1941) et Vessiot (1865-1952) ouvrent une autre voie pour l'étude des groupes de Galois infinis, la théorie de Galois différentielle.
Apports du Les travaux de Hilbert ont ouvert l'étude des cas où le groupe de Galois est infini et commutatif. Ce vaste sujet prend le nom de théorie des corps de classes. Elle est maintenant achevée et est souvent considérée comme un des plus beaux succès des mathématiques du .