En algèbre linéaire, la trace d'une matrice carrée A est définie comme la somme de ses coefficients diagonaux et souventPar exemple Roger Godement, Cours d'algèbre, Hermann, éd., 1978, p. 526 ou . D'autres auteurs la notent tr(A) ou trace(A). notée Tr(A) ou tr(A). La trace peut être vue comme une forme linéaire sur l'espace vectoriel des matrices. Elle vérifie l'identité : Tr(AB) = Tr(BA), et est en conséquence invariante par similitude.
De façon voisine, si u est un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K, on peut définir la trace de l'opérateur u, par exemple comme trace de sa matrice dans n'importe quelle base.
Plus généralement, sur une algèbre A, une trace est une forme linéaire telle que . Cette définition se rencontre en particulier dans l'étude des algèbres de von Neumann, qui sont des algèbres d'opérateurs sur des espaces de Hilbert.
Exemples d'applications
En algèbre linéaire, la trace d'un opérateur u est la somme de ses valeurs propres comptées avec multiplicité. Par exemple, la trace d'une rotation de est et fournit donc l'angle de rotation . En théorie de Galois, la trace est à l'origine de la définition de la forme trace. Cette forme est aussi utilisée en théorie algébrique des nombres, par exemple pour définir le discriminant d'un anneau d'entiers algébriques. Dans la théorie des représentations de groupes, la trace d'une représentation est son caractère. Par exemple, pour une représentation d'un groupe fini, son caractère permet de comprendre sa décomposition en somme directe de représentations irréductibles. Cette théorie permet de mieux comprendre la structure d'un groupe. En conséquence, on retrouve l'utilisation de cet outil dans la démonstration de théorèmes sur le sujet, par exemple celui de Burnside sur les groupes résolubles, ou celui sur les sous-groupes de GL(n,ℂ) dans le cadre du problème de Burnside. Dans l'étude des groupes de Lie, et toujours en rapport avec la théorie des représentations, la trace permet de définir la forme de Killing, qui est une forme quadratique sur l'algèbre de Lie correspondante. Le critère de Cartan en montre l'importance. Par exemple, la forme de Killing est définie négative si et seulement si la composante neutre est compacte (théorème de Myers). En calcul différentiel, sur l'espace des matrices, la trace apparaît comme la différentielle du déterminant en la matrice identité. La trace intervient également dans la définition de la divergence d'un champ de vecteurs, qui mesure le défaut à ce que son flot préserve le volume.
Définitions Trace d'une matrice carrée Étant donné une matrice carrée
à coefficients dans un corps commutatif K (ou seulement dans un anneau commutatif), sa trace, notée , est le scalaire somme des coefficients de sa diagonale principale, ou , présente la définition sous une forme légèrement plus générale, et écrit la formule pour une matrice carrée supposée indexée par un ensemble fini quelconque, pas nécessairement celui des entiers entre 1 et n. : . Pour toutes matrices carrées et (de même ordre) et pour tout scalaire α∊K, les propriétés suivantes sont vérifiées :
où AT désigne la transposée de A.
Autrement dit, la trace est une forme linéaire sur l'espace vectorielOu le module si K est seulement un anneau commutatif. ℳn(K) des matrices carrées d'ordre , invariante par transposition.
L'application étant une forme linéaire non nulle , son noyau est un hyperplan de ℳn(K).
Si maintenant et sont des matrices (n, m) et (m, n) (non nécessairement carrées, mais fournissant des matrices carrées par multiplication), on a l'identité :
L'égalité précédente a pour conséquence l'identité suivante, valable pour toute matrice carrée et pour toute matrice inversible de même ordre :
Autrement dit, la trace est un « invariant de similitude » pour les matrices carrées d'ordre donné, c'est-à-dire que deux matrices semblables ont même trace, ce qui n'a rien de surprenant si l'on connaît le lien entre la trace et le polynôme caractéristique et l'invariance par similitude de ce dernier.
On peut montrer par une preuve assez brève, faisant intervenir les unités matricielles ( les matrices de la base canonique de ℳn(K), qui sont les matrices dont un seul coefficient vaut 1 et tous les autres 0) qu'une forme linéaire sur l'espace ℳn(K) invariante par similitude est nécessairement proportionnelle à la traceVoir la feuille d'exercices « Propriétés de la trace » de la leçon « Trace et transposée de matrice » sur Wikiversité. le démontre seulement pour une forme linéaire f vérifiant l'hypothèse plus forte f(AB) = f(BA)..
En particulier matrice nulle : Tr(0n, n) = 0 ; matrice identité : Tr(In) = n.
Applications La trace du tenseur des contraintes T est un invariant. La pression isostatique vaut le tiers de la trace : .
Trace d'un endomorphisme Si la trace d'une matrice carrée peut être définie sans technicité particulière sur n'importe quel anneau commutatif, il n'en est pas de même pour la trace d'un endomorphisme. En utilisant une représentation matricielle, c'est faisable à assez peu de frais pour un endomorphisme d'espace vectoriel ; une construction plus abstraite, utilisant l'algèbre tensorielle, permet d'étendre le concept à certains endomorphismes de module .
Dans un espace vectoriel
Si E est un espace vectoriel de dimension finie n, la trace d'un endomorphisme , notée , est définie comme la trace de la matrice de dans une base préalablement fixée de E. Cette définition ne dépend pas du choix arbitraire de car si est une autre base, la « formule de changement de base » montre que les matrices de respectivement dans et sont semblables donc (cf. supra) ont même trace.
Les propriétés suivantes sont vérifiées pour tous les endomorphismes , tout scalaire et tout (c'est-à-dire que est un automorphisme de E)
Autrement dit : la trace est une forme linéaire sur l'espace vectoriel , invariante par conjugaison.
De plus, , où désigne l'application transposée de .
Dans un module
En utilisant la contraction tensorielle, il est possible d'étendre le concept de trace aux endomorphismes des modules projectifs de type fini.
Trace d'une forme quadratique Soit (E,g) un espace euclidien. On définit une bijection (détaillée dans la section Forme bilinéaire symétrique (resp. forme hermitienne) associée de l'article Endomorphisme autoadjoint) entre les formes quadratiques q sur E, et les opérateurs symétriques A sur (E,g) par : . La trace de A est appelée trace de la forme quadratique q par rapport à gN. Bourbaki, Éléments de mathématique, EVT, chap. V, §4, s'intitule : « Trace d'une forme quadratique par rapport à une autre »..
Exemples Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n. La trace de l'identité Id est : La trace d'une transvection est aussi dim E. La trace d'un projecteur vérifie , où est le rang de . Pour deux endomorphismes u et v de E, on pose [u,v]=uv-vu (on l'appelle le commutateur de u et v). La trace de [u,v] est nulle : c'est une autre façon d'exprimer l'identité fondamentale Tr(uv)=Tr(vu).
Dans les espaces euclidiens : La trace d'une rotation de ℝ d'angle est donnée par . De même, la trace d'une rotation d'axe et d'angle dans l'espace à 3 dimensions est donnée par .
Pour des matrices : Toute permutation (où représente le groupe symétrique d'ordre ) est représentée par une matrice carrée d'ordre , définie par :
La trace de la matrice s'interprète alors comme le nombre de points fixes de la permutation :
La trace de la matrice d'adjacence d'un graphe est nulle (si un sommet ne boucle pas sur lui-même).
Trace, polynôme caractéristique et valeurs propres
Soit A une matrice carrée d'ordre n à coefficients dans un anneau commutatif.
On note son polynôme caractéristique et le coefficient de dans . En d'autres termes on pose , où In désigne la matrice identité d'ordre n. Alors, .
Trace et polynôme caractéristique On démontre l'égalité ci-dessus et, si
(où les appartiennent à un anneau commutatif contenant les coefficients de A), l'égalité suivante : .
Trace d'un polynôme de matrice Soit q un polynôme (à coefficients dans un anneau commutatif contenant les ci-dessus et les coefficients de A). Alors : .
En particularisant la formule précédente au monôme , on obtient :
.
En caractéristique nulle, les polynômes symétriques élémentaires peuvent être reconstitués polynomialement à partir des sommes de Newton, via les identités de Newton. De ce fait, il existe des formules polynomiales universelles permettant d'exprimer les coefficients du polynôme caractéristique d'une matrice (n,n) en fonction des traces de ses puissances (et même des puissances d'exposant inférieur ou égal à n). Pour en donner un exemple :
En voici une applicationE. Leichtnam, Oral Maths Polytechnique - ENS Algèbre et Géométrie, p. 70-71, ou . La preuve fournie dans ces sources ne repose pas sur les identités de Newton mais est plus rapide, par récurrence sur la dimension en s'appuyant sur le lemme des noyaux. : si A est une matrice (n,n) à coefficients dans un corps de caractéristique nulle et vérifie : , alors A est nilpotente.
Applications
Divergence
Étant donné un espace vectoriel réel E de dimension finie, le déterminant définit une application det de l'espace des opérateurs sur E vers R, qui est homogène de degré n. Le nombre det(u) s'exprime comme une fonction polynomiale en les coefficients de la matrice représentant u dans une base quelconque de E. La fonction det est donc différentiable. Sa différentielle en l'identité est la trace. Autrement dit, pour tout opérateur u sur E,
où o(u) signifie que le reste est négligeable devant u quand u tend vers zéro. Comme conséquence, pour tout opérateur u sur E, . En particulier, l'exponentielle de u est de déterminant 1 si et seulement si u est un opérateur de trace nulle. Ce résultat s'interprète dans la théorie des groupes de Lie comme suit. L'application det est un morphisme continu de groupes, du groupe linéaire GL(E) vers R. Son noyau, l'ensemble des opérateurs de déterminant 1, donc est un sous-groupe de GL(E), noté SL(E). Il s'agit d'un groupe de Lie classique, c'est-à-dire d'un sous-groupe fermé de GL(E). Géométriquement, un opérateur appartient à SL(E) si et seulement s'il préserve le volume de Lebesgue de E. Son algèbre de Lie est exactement l'ensemble des opérateurs u de trace nulle, noté .
Sur un ouvert U de E, un champ de vecteurs X est une application . Si cette application est lipschitzienne, le théorème de Cauchy-Lipschitz affirme l'existence de solutions maximales de l'équation différentielle ordinaire (1). Le flot de X est la famille de difféomorphismes qui envoient x sur c(t), où c est la solution de (1) avec comme condition initiale c(0)=x. Le flot est défini localement. On introduit la divergence de X
où dX(x) désigne la différentielle de X en x, qui est un opérateur sur E. Le flot ft préserve le volume de Lebesgue ssi la divergence est nulle. Plus précisément, pour tout ouvert dont l'adhérence est incluse dans U, . (Cette égalité permet d'étendre la définition de la divergence, par exemple sur des variétés orientées en présence de formes volumes.)
Forme de Killing
Si est une algèbre de Lie sur un corps K, la représentation adjointe de , notée ad, est donnée par . La forme de Killing sur est la forme bilinéaire symétrique . Les automorphismes de l'algèbre de Lie préservent la forme de Killing. En particulier, sa représentation adjointe préserve B. La forme de Killing a été introduite par Élie CartanÉlie Cartan, Sur la structure des groupes de transformations finis et continus, Thèse, éd. Nony, 1894. pour caractériser la semi-simplicité des algèbres de Lie. Quand K=R, elle fournit aussi des informations sur le groupe de Lie associé. Voir critère de Cartan.