La conjecture de Catalan est un résultat de la théorie des nombres conjecturé en 1844 par Eugène Charles Catalan et démontré en par Preda Mihăilescu Catalan's problem, sur Prime Pages..
Ce théorème s'énonce de la façon suivante :
(Une puissance parfaite est un entier > 1 élevé à une puissance entière > 1, comme 64.)
En d'autres termes, la seule solution en nombres naturels de l'équation xa − yb = 1 pour x, a, y, b > 1 est x = 3, a = 2, y = 2, b = 3.
La démonstration fait un important usage de la théorie des corps cyclotomiques et des modules de Galois Jeanine Daems, A Cyclotomic Proof of Catalan's Conjecture, sept. 2003..
Historique Catalan a formulé sa conjecture en 1844., sa résolution s'est écoulée sur 150 ans.
Résolution de cas particuliers En 1850, Victor-Amédée Le Besgue montre que pour tout nombre premier , l'équation n'a pas de solution non triviale en nombres entiers.. En 1965, Ke Zhao montre que si est un nombre premier alors les solutions triviales et sont les uniques solutions de l'équation .
Résolution complète Démontré en 1976, le théorème de Tijdeman affirme que l'équation de Catalan ne possède qu'un nombre fini de solutions. Preda Mihăilescu démontre la conjecture de Catalan en 2003, en se plaçant dans le cadre de la théorie des corps cyclotomiques et ce de manière inattendue car cette théorie est insuffisante pour résoudre d'autres équations diophantiennes comme notamment celle du grand théorème de Fermat.
Variante : la conjecture de Pillai La conjecture de Pillai généralise ce résultat. Elle énonce que chaque entier ne s'écrit qu'un nombre fini de fois comme différence de puissances parfaites. C'est encore un problème ouvert, qui fut proposé par S. S. Pillai en 1942, à la suite de ses travaux sur les équations diophantiennes exponentielles.
La table suivante (voir pour le plus petit k et pour le nombre de solutions) donne les valeurs connues en 2005 pour n< 65.
n entiers k tels que k et k + n sont des puissances d'entiersnentiers k tels que k et k + n sont des puissances d'entiers183316, 25622534 31, 125351, 289, 129644, 32, 1213664, 172854, 273727, 324, 143489076 38133171, 9, 25, 121, 327613925, 361, 961, 1060981, 8, 97336409, 81, 216, 2704916, 27, 216, 64000418, 128, 40010218742 1116, 25, 3125, 336443441124, 21974481, 100, 1251336, 243, 4900454, 36, 484, 92161446243151, 49, 12950294781, 169, 196, 529, 1681, 250000169, 16, 128481, 16, 121, 21904178, 32, 64, 512, 79507, 140608, 1433841529044932, 576, 274576189, 225, 34350 198, 81, 125, 324, 5032843565149, 6252016, 19652144214, 10053676, 243362227, 21875427, 289234, 9, 121, 2025559, 729, 175561241, 8, 25, 1000, 542939080312568, 25, 169, 577625100, 1445764, 343, 784261, 42849, 643634358 279, 169, 21659841284, 8, 36, 100, 484, 50625, 131044604, 196, 2515396, 2535525316291966164, 90030685962 311, 225631, 81, 961, 183250369324, 32, 49, 77446436, 64, 225, 512
Notes et références
Voir aussi Liens externes ou Jacques Boéchat et Maurice Mischler, La conjecture de Catalan racontée à un ami qui a le temps, 2005. . Vincent Brayer, Méthodes algébriques dans la conjecture de Catalan, École polytechnique fédérale de Lausanne, Département de mathématiques, Lausanne, févr. 2004, iv + 46 pp. Henri Cohen, Démonstration de la conjecture de Catalan, Laboratoire A2X, U.M.R. 5465 du C.N.R.S., Université de Bordeaux, 83 pp. . Page personnelle de Preda Mihăilescu à l'université de Paderborn. Ivars Peterson's MathTrek, sur le site de la MAA. Gérard Villemin, Conjecture de Catalan. Bibliographie , Catalan's Conjecture, Springer-Verlag, 2008 Articles connexes Théorème de Tijdeman Conjecture de Fermat-Catalan, combinant les idées du dernier théorème de Fermat et la conjecture de Catalan.
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