droite|vignette|upright=1.3|Représentation figurée des quatre premiers nombres triangulaires.centré|sans_cadre|400x400px vignette|upright=1.3|Le septième nombre triangulaire est égal à 28. En arithmétique, un nombre triangulaire est un cas particulier de nombre polygonal. Il correspond à un entier naturel non nul égal au nombre de pastilles dans un triangle construit à la manière des deux figures de droite. La seconde montre que le septième nombre triangulaire — celui dont le côté porte 7 pastilles — est égal à 28. Une définition plus formelle de cette suite d'entiers s'obtient par récurrence : le premier nombre triangulaire est 1, et le n-ième est la somme de et du précédent.
Les nombres triangulaires inférieurs à 100 sont : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91 ().
Il existe différentes manières de calculer le n-ième nombre triangulaire ; l'une d'elles est graphique et s'obtient par un raisonnement d'arithmétique géométrique. On trouve, si désigne le n-ième nombre triangulaire :
où est le symbole d'un coefficient binomial. Les nombres triangulaires sont donc ceux de la troisième colonne du triangle de Pascal.
Cette formule est ancienne — on la doit à l'école de Pythagore — et probablement connue depuis le début du
Elle est citée par Alcuin au dans un recueil de récréations mathématiques..
Définition et calculs Définitions vignette|upright=0.8|Le n-ième nombre triangulaire s'obtient en ajoutant au précédent et est donc la somme des entiers de 1 à .
Formellement, les nombres triangulaires sont définis à partir d'une suite, notée dans cet article, où est un indiceLe terme d'indice est celui souvent utilisé pour les suites : Axel Delmotte, William Seck et Hubert Silly, Réussir les tests d'entrée des et écoles de gestion, Jeunes Editions, 2005 , . parlent néanmoins de rang et non pas d'indice. parcourant les entiers strictement positifs :
Une autre manière de définir cette suite est de le faire par récurrence. Les deux formulations sont équivalentes :
Chez les Pythagoriciens, le quatrième nombre triangulaire, c'est-à-dire 10, est nommé tetractys. Il dispose d'une dimension symbolique..
Remarque : Le choix de ne pas définir le nombre triangulaire d'indice 0 se justifie historiquement, le zéro n'existant pas chez les Grecs de l'Antiquité. Cette convention est choisie pour certaines présentations didactiques. Elle est aussi choisie historiquement dans l'encyclopédie de Diderot et D'Alembert pour tous les nombres figurésDenis Diderot Jean le Rond D'Alembert Encyclopédie ou dictionnaire raisonné des sciences des arts et des métiers (1781). Mais elle n'est pas toujours suivie. Si l'on admet 0 comme nombre triangulaire, tout entier positif est somme de trois nombres triangulaires. Cette raison pousse Fermat et Gauss à choisir d'accepter 0 comme nombre triangulaireC. F. Gauss, Recherches arithmétiques, de la traduction de 1807..
Méthodes de calcul vignette|Le double du n-ième nombre triangulaire (que l'on peut appeler le n-ième nombre oblong) est représenté par un rectangle n × (n + 1).|gauche Une vieille méthode de calcul provient de l'école pythagoricienne.. Les Grecs de cette époque usaient de géométrie pour résoudre les questions de cette nature. Cette approche est qualifiée d'arithmétique géométrique. La figure de droite permet de comprendre comment ils calculaient le triangulaire. La zone rouge de la figure correspond à ce nombre, c'est-à-dire la somme 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8. À cette zone rouge, on accole la zone bleue de la figure, contenant exactement le même nombre de pastilles que la rouge. La zone bleue et rouge contient un nombre de pastilles égal à deux fois le triangulaire. Or cette zone est un rectangle de base 9 et de hauteur 8. Le double du triangulaire est égal à 8 × 9 = 72 donc ce est égal à 36. On retrouve bien la formule annoncée en introduction :
+Les nombres triangulaires sont ceux de la colonne d'indice 2 du triangle de Pascal012345678111212131331414641515101051616152015617172135352171818285670562881 Cette formule se réinterprète comme l'expression du n-ième nombre triangulaire sous la forme d'un coefficient binomial :
Il en existe une preuve directe sans mots, par bijection entre les pastilles du triangle et les paires contenues dans un ensemble à élémentsCette preuve de (, figure 7) est reproduite par et par ..
Pour d'autres preuves, purement algébriques, voir l'article Somme (arithmétique), § « Somme des premiers entiers ».
Résultats géométriques Les Grecs de l'école de Pythagore n'avaient pas connaissance des théorèmes fondamentaux de l'arithmétique élémentaire, comme le lemme d'Euclide, le théorème de Bachet-Bézout ou encore le théorème fondamental de l'arithmétique. Ils ont développé une arithmétique différente et les résultats présentés ici sont un peu à l'image de leur conception de l'arithmétique.. Néanmoins, comme il n'existe pas de texte directement écrit sur cette question par les membres de cette école, il est difficile de relier des résultats précis à des dates ou des noms de membres de l'école , ainsi que d'être catégorique sur le fait qu'un résultat était bien connu d'eux.
Somme de deux nombres triangulaires consécutifs
La figure de droite montre que la somme du quatrième et du cinquième nombre triangulaire forme le cinquième carré parfait, c'est-à-dire 25. Ce résultat connu sous le nom de théorème de Théon. n'est pas uniquement vrai pour la valeur 5 :
La formule précédente permet d'établir ce résultat :
Un nombre triangulaire est somme de quatre nombres triangulaires vignette|upright=0.8|Cas pair. vignette|upright=0.8|Cas impair.|gauche Les deux graphiques ci-contre indiquent que le n-ième nombre triangulaire est somme de quatre nombres triangulaires. Ceci est vrai quelle que soit la parité de l'indice . En effet, T est la somme de trois fois T et de T et T est la somme trois fois T et de T. Cette proposition s'exprime de la manière suivante :
En effet :
Remarque : on en déduit, ce qui se voit aussi sur les figures, que et .
Un carré parfait moins 1 est somme de huit nombres triangulaires identiques vignette|upright=0.8|La somme de 8 fois un nombre triangulaire et de 1 est un nombre carré. La figure de droite montre qu'il est possible d’emboîter huit nombres triangulaires d'indice 7 pour former un carré de côté 15, auquel il manque la pastille centrale, en gris sur la figure ; résultat qui se généralise à tous les carrés de nombres impairs :
En effet, ce résultat est directement l'application d'une identité remarquable :
Cubes et nombres triangulaires consécutifs
Un autre résultat traite des cubes. Il s'énonce ainsi :
Ceci vient de ce que et , donc .
On en déduit : En effet .
Ceci est redécouvert par le mathématicien perse Al-Karaji, ., qui le démontre sur l'exemple = 10 en considérant des gnomons.
Notons que la somme des carrés de deux nombres triangulaires consécutifs est un nombre triangulaire : .
Séries faisant intervenir les inverses des nombres triangulaires On a les séries convergentes suivantes :
. .
.
.
.
Autres propriétés Entier somme de trois nombres triangulaires En 1638, Fermat affirma détenir une preuve du fait que tout entier est somme de trois nombres triangulaires (à condition de considérer zéro comme un nombre triangulaire) et même d'une généralisation (le théorème des nombres polygonaux de Fermat, finalement démontré par Cauchy en 1813) et proclama son intention d'écrire un livre qui révolutionnerait cette partie de l'arithmétiquePaul Tannery et Charles Henry, Œuvres de Fermat, t. 3, 1896, p. 252 : Commentaire de Bachet sur IV, 31., mais aucun livre ne parutJoseph Louis Lagrange, « Démonstration d'un théorème d'arithmétique », Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin, 1770, – Œuvres complètes, tome 3, .. En 1796, Journal de Gauss, 10 juillet 1796 , ., Gauss découvrit la preuve suivante.
La démonstration ici n'est pas géométrique. L'arithmétique telle qu'on la concevait à l'époque de Pythagore est impuissante pour prouver des résultats de cette nature. La partie difficile de la preuve est le théorème des trois carrés de Legendre, qui a pour conséquence que tout entier positif congru à 3 modulo 8 est somme de trois carrés parfaits.
Soit un nombre entier positif, est somme de trois carrés. De plus chaque carré de la somme est impair, sinon leur somme ne serait pas congrue à 3 modulo 4. On en déduit l'existence de trois entiers naturels tels que :
Cette dernière égalité implique le résultat recherché : est la somme des trois nombres triangulaires d'indices .
Nombres triangulaires qui sont aussi k-gonaux Il s'agit de résoudre l'équation diophantienne .
En posant , l'équation se met sous la forme de l'équation de Pell-Fermat : .
Par exemple :
pour , donne l'équation de Pell-Fermat classique , voir à nombre triangulaire carré. pour , donne l'équation et on retrouve que les nombres hexagonaux sont les nombres triangulaires d'indice impair. pour , donne l'équation , voir la résolution dans , ainsi que la . pour , donne l'équation qui ne fournit pas d'autres solutions que .
Nombres triangulaires en progression arithmétique Il n'existe pas trois carrés en progression arithmétique de raison un carré non nul, mais il existe une infinité de triplets de nombres triangulaires en progression arithmétique de raison triangulaire, comme .
Par contre la relation montre que d'après le théorème de Fermat sur les 4 carrés en progression arithmétique, il n'existe pas de triplet de nombres triangulaires en progression arithmétique.
Généralisations Si, au lieu de calculer la somme des premiers nombres entiers strictement positifs, on calcule celle des premiers carrés strictement positifs, somme que l'on appelle , on obtient :
L'intuition de l'exactitude de cette formule est donnée par la preuve sans mots suivanteElle provient de . : vignette|centré|upright=3|Chacune des trois pyramides a pour volume la somme des carrés de 1 à ( = 4 dans cette illustration) ; le parallélépipède final est de côtés , + 1 et + 1/2.
Ce résultat se généralise pour la somme des premières puissances strictement positives. Cette somme est obtenue par la formule de Faulhaber.
Il est aussi possible de généraliser en considérant le nombre de points contenus dans un simplexe dont les côtés sont de longueurs , dans un espace de dimension . On obtient :
Notes et références
Voir aussi
Articles connexes Équation de Ramanujan–Nagell Ensemble triangulaire Nombre ennéagonal centré (sous-suite des nombres triangulaires d'indices congrus à 1 modulo 3, c'est-à-dire les nombres triangulaires congrus à 1 modulo 9 — les autres étant divisibles par 3) Nombre hexagonal (sous-suite des nombres triangulaires d'indices impairs) Nombre triangulaire carré Nombre triangulaire centré Nombre tétraédrique Nombre poli (différence de deux nombres triangulaires) Bibliographie
Triangulaire