En mathématiques, un nombre triangulaire carré est un nombre triangulaire qui est de plus carré. Il y a une infinité de tels nombres.
Ils s'écrivent sous la forme.
Par exemple, .
La suite est répertoriée comme , et si l'on pose , les suites et sont respectivement répertoriées comme et comme .
Démonstration Le problème se ramène à la résolution d'une équation diophantienne de la manière suivante.
Tout nombre triangulaire est de la forme t(t + 1)/2. On recherche donc les entiers t et s tels que t(t + 1)/2 = s, c'est-à-dire, en posant x = 2t + 1 et y = 2s, les solutions de l'équation de Pell-Fermat Les solutions sont données par
soit
On trouve donc
d'où la valeur annoncée pour .
Valeurs numériques kNstt/s1111123668…335494204288…5…6…7…8…9…
Propriétés
Lorsque tend vers l'infini, le rapport
tend vers la racine carrée de deux et
Les suites et vérifient la relation de récurrence linéaire double : .
Équations diophantiennes apparentées
Nombres triangulaires égaux au double d'un nombre triangulaire L'équation diophantienne s'écrit : (2) .
En posant , on retombe sur l'équation (1) .
Les solutions de (2) sont donc données par .
La suite débute par : 0, 3, 20, 119, 696, 4059, 23660, 137903, 803760, 4684659 ; .
La suite débute par : 0, 2, 14, 84, 492, 2870, 16730, 97512, 568344, 3312554 ; .
L'équation (2) possède une jolie interprétation concrète : il s'agit de déterminer dans quels cas une formation triangulaire d'oiseaux migrateurs peut se séparer en deux formations triangulaires identiques.
Nombres carrés centrés qui sont aussi des carrés Il s'agit de l'équation (3) . Comme est forcément impair, on peut poser et l'équation (3) s'écrit alors , ce qui redonne l'équation (2) en posant .
Les solutions de (3) sont donc données par .
La suite débute par : 1, 5, 29, 169, 985, 5741, 33461, 195025, 1136689, 6625109 ; .
Remarquons que résoudre l'équation (3) revient à rechercher les triplets pythagoriciens dont les deux premiers termes sont consécutifs.
Notes et références , renommé « » en août 2005.
Carré triangulaire