En arithmétique géométrique, un nombre tétraédrique, ou nombre pyramidal triangulaire, est un nombre figuré qui peut être représenté graphiquement par une pyramide de base triangulaire, c'est-à-dire un tétraèdre, dont chaque couche représente un nombre triangulaire. Pour tout entier naturel non nul, le n-ième nombre pyramidal triangulaire, somme des premiers nombres triangulaires, est donné par les formules :
où est un coefficient binomial. Les nombres tétraédriques sont donc ceux de la quatrième colonne du triangle de Pascal présenté en escalier. +Les nombres tétraédriques sont ceux de la colonne d'indice 3 du triangle de Pascal 012345678111 2121 31331 414641 515101051 61615201561 7172135352171818285670562881
Les dix premiersPour les 10 000 premiers, voir ce lien de la . sont 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165 et 220.
Le est 2024.
Démonstration de la formule Comme le k-ième nombre triangulaire est égal à , on a, d'après la formule d'itération de Pascal :
.
Ceci est en fait un cas particulier de la construction des nombres simpliciaux ; Le nombre tétraédrique est le n-ième nombre 3-simplicial .
On peut aussi obtenir à partir de la formule générale des nombres polyédriques réguliers : où , qui donne , puis .
Propriétés Le n-ième nombre tétraédrique est le produit scalaire dans de par son renversé :
La suite d'entiers , réduite modulo 2, est de période 4.
Les seuls nombres tétraédriques carrés sont. : P = 1 = 1, P = 4 = 2 et P = 19 600 = 140 : .
Les seuls nombres tétraédriques triangulaires sont 1, 10, 120, 1540 et 7140 : .
Le seul nombre tétraédrique pyramidal carré est 1..
D'après la formule du binôme négatif, la fonction génératrice des nombres tétraédriques est égale à :
Notes et références
Articles connexes Conjectures de Pollock Empilement compact
Tétraédrique Catégorie:Pyramide