vignette|Dans un espace vectoriel, on peut additionner deux vecteurs. Par exemple, la somme du vecteur v (en bleu) et w (en rouge) est v + w. On peut aussi multiplier un vecteur, comme le vecteur w que l'on peut multiplier par 2, on obtient alors 2w et la somme devient v + 2w. En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble d'objets, appelés vecteurs, que l'on peut additionner entre eux, et que l'on peut multiplier par un scalaire (pour les étirer ou les rétrécir). En d'autres termes, c'est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires. Les scalaires sont généralement des nombres réels ou des nombres complexes, ou plus généralement pris dans n'importe quel corps.
Étant donné un corps K, un espace vectoriel E sur K est un groupe commutatif (dont la loi est notée +) muni d'une action « compatible » de K (au sens de la définition ci-dessous).
Espace vectoriel Définitions Soit K un corps commutatif : corps défini au chapitre II, espace vectoriel au . La théorie des corps fait l'objet des chapitres VII à XII, d'autres notions d'algèbre étant présentées aux chapitres XIII à XVIII.Roger Godement, Cours d'algèbre, 1966 : le chapitre 8 porte sur les anneaux et corps, et le chapitre 10 sur les modules et espaces vectoriels., comme le corps commutatif des rationnels, celui, , des réels : le chapitre 3, consacré aux espaces vectoriels, présente d'abord les espaces vectoriels n avant de donner une définition de la structure de corps. ou celui, , des complexes (on parlera dans ces cas d'espace vectoriel rationnel, réel ou complexe).
Un espace vectoriel sur K, ou K-espace vectoriel, est un ensemble E, dont les éléments sont appelés vecteurs (ou — plus rarement — points..), muni de deux lois : une loi de composition interne « + » : E → E, appelée addition ou somme vectorielle, une loi de composition externe (à gauche) « • » : K × E → E, appelée multiplication par un scalaire, telles que les propriétés suivantes soient vérifiées : 1. (E,+) est un groupe abélien, autrement dit, la loi « + » : est associative ; admet un élément neutre, noté 0E, et appelé vecteur nul ; est telle que tout vecteur u a un opposé, noté –u ; est commutativeL'hypothèse de commutativité de « + » est en fait redondante : elle se déduit des autres propriétés, en développant de deux façons différentes (1 + 1)•(u + v) : cf. notes analogues dans les articles « Anneau unitaire » et « Module sur un anneau ».. Ainsi a-t-on pour tous vecteurs u, v et w : (u + v) + w = u + (v + w) 0E + u = u u + (–u) = 0E u + v = v + u 2. La loi « • » vérifie les propriétés suivantes : elle est distributive à gauche par rapport à la loi « + » de E et à droite par rapport à l'addition du corps K, elle vérifie une associativité mixte (par rapport à la multiplication dans K), l'élément neutre multiplicatif du corps K, noté 1K, est neutre à gauche pour •Cette condition est nécessaire, comme le montre le contre-exemple suivant. Si on prend par exemple E = K, et que la loi externe est définie comme l'opération toujours nulle (λ•u = 0 pour tout λ de K et tout u de E), alors tous les autres axiomes sont satisfaits sauf celui-ci.. Ainsi a-t-on pour tous vecteurs u et v et tous scalaires λ et μ : λ•(u + v) = (λ•u) + (λ•v) (λ + µ)•u = (λ• u) + (µ • u) (λμ)•u = λ•(µ•u) 1K •u = u
Ces axiomes impliquent que E est non vide et pour tout vecteur u de E et tout scalaire λ, prop. 8.1.3. :
λ•u = 0E ⇔ (λ = 0K ou u = 0E)(–λ)•u = –(λ•u) = λ•(–u)
Les vecteurs (éléments de E) ont été ici écrits avec des lettres latines italiques, mais certains auteurs les notent par des lettres en gras, ou les surmontent d'une flèche.
Exemples
thumb|upright=1.2|Les fonctions ℝ → ℝ continues forment un ℝ-espace vectoriel, noté C(ℝ, ℝ). Voici quelques exemples d'espaces vectoriels qui servent entre autres en analyse ou en géométrie : L'espace nul est l'espace vectoriel sur un corps K comportant un unique élément, qui est nécessairement le vecteur nul. L'espace nul est l'objet initial et l'objet final de la sur K. Tout corps K se présente comme un K-espace vectoriel. L'addition et la multiplication de K fournissent respectivement l'addition vectorielle et la multiplication par un scalaire. Plus généralement, l'ensemble des n-uplets d'éléments de K, muni des lois usuelles, forme l'espace vectoriel Kn. Les matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans K forment l'espace M(K). Si K est commutatif, toute extension de corps de K, c'est-à-dire tout plongement de K dans un corps L, munit L d'une structure d'espace vectoriel sur K. L'ensemble C(X) des fonctions continues réelles ou complexes définies sur espace topologique X est un espace vectoriel (réel ou complexe). L'ensemble des (germes de) solutions d'une équation différentielle linéaire homogène est un espace vectoriel (réel ou complexe). L'ensemble des suites numériques satisfaisant une relation de récurrence linéaire est un espace vectoriel réel.
Espaces vectoriels sur un corps non commutatif La définition ci-dessus est celle des espaces vectoriels à gauche sur K. Les espaces vectoriels à droite sur K sont les espaces vectoriels à gauche sur le corps opposé à K. Si le corps K est commutatif, les notions d'espaces vectoriels à gauche et à droite coïncident, et l'on peut alors noter à gauche ou à droite (au choix) la multiplication par un scalaire.
Les notions de la théorie des espaces vectoriels qui ne sont valables, avec les définitions usuelles, que lorsque le corps est commutatif sont notamment celles liées à la multilinéarité (déterminant, trace, produits tensoriels, algèbre extérieure, algèbre sur un corps commutatif) ou aux fonctions polynomiales. Même si l'on ne se sert pas de ces notions, il faut faire attention à divers détails lorsque le corps de base n'est pas supposé commutatif. Par exemple, les homothéties n'existent (en tant qu'applications linéaires) que si le facteur scalaire est central dans le corps, et la multiplication scalaire doit être écrite du côté opposé des applications linéaires (donc avec le scalaire à droite si les applications linéaires sont notées à gauche de leurs arguments).
Combinaison linéaire
Les deux opérations sur un espace vectoriel permettent de définir les combinaisons linéaires, c'est-à-dire les sommes finies de vecteurs affectés de coefficients (scalaires). La combinaison linéaire d'une famille (v) de vecteurs ayant pour coefficients () est le vecteur ∑ v. Lorsque l'ensemble d'indexation I est infini, il est nécessaire de supposer que la famille () est à support fini, c'est-à-dire qu'il n'y a qu'un ensemble fini d'indices i pour lesquels est non nul.
Sous-espace vectoriel
thumb|upright=1.5|Deux plans vectoriels de l'espace ℝ en jaune et en vert, qui se coupent selon une droite vectorielle en bleu. Un sous-espace vectoriel de E est une partie non vide F de E stable par combinaisons linéaires. Muni des lois induites, F est alors un espace vectoriel. L'intersection d'une famille non vide (finie ou infinie) de sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel mais l'union, même finie, n'en est pas un en général.
Famille de vecteurs et dimension Indépendance linéaire
Une famille (v) de vecteurs de E est dite libre (sur K) ou encore les vecteurs de cette famille sont dits linéairement indépendants, si la seule combinaison linéaire des v égale au vecteur nul est celle dont tous les coefficients sont nuls. Dans le cas contraire, la famille est dite liée et les v sont dits linéairement dépendants.
Une famille constituée d'un seul vecteur est libre si et seulement si ce vecteur est non nul. Un couple de vecteurs est lié si et seulement si les deux vecteurs sont colinéaires. Si (u, v) est un couple de vecteurs linéairement indépendants, alors (u, v), (u + v, v) et (u, u + v) sont eux aussi des couples de vecteurs non colinéaires, mais la famille (u, v, u + v) est toujours liée.
Sous-espace vectoriel engendré
Le sous-espace vectoriel engendré par une famille (v) de vecteurs, noté ((v)), est le plus petit sous-espace (au sens de l'inclusion) contenant tous les vecteurs de cette famille. De manière équivalente, c'est l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs v. La famille engendre E, ou encore est génératrice, si le sous-espace qu'elle engendre est E tout entier.
Une famille B de vecteurs de E est une base de E si elle est libre et génératrice ou, ce qui est équivalent, si tout vecteur de E s'exprime de manière unique comme combinaison linéaire des éléments de B. L'existence d'une base pour tout K-espace vectoriel E se déduit du théorème de la base incomplète.
Définition de la dimension
Étant donné un espace vectoriel E sur un corps K, toutes les bases de E ont le même cardinal, appelé dimension de E. La dimension de l'espace Kn est n. Tout espace vectoriel de dimension 1 est appelé droite vectorielle. Tout espace de dimension 2 est appelé plan vectoriel. Deux espaces vectoriels sur K sont isomorphes (c'est-à-dire reliés par un isomorphisme) si et seulement s'ils sont de même dimension.
Application linéaire
Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps K. Une application de E vers F est dite linéaire si elle est additive et commute à la multiplication par les scalaires :
Autrement dit, préserve les combinaisons linéaires.
L'ensemble des applications linéaires de E dans F est souvent noté L(E, F). Si K est commutatif, L(E, F) est un sous-espace vectoriel de l'espace des fonctions de E dans F. Toute composée d'applications linéaires est linéaire. L'ensemble L(E, E) des endomorphismes de E se note L(E). Un isomorphisme d'espaces vectoriels est une application linéaire bijective. Un automorphisme est un endomorphisme bijectif. L'ensemble des automorphismes de E est le groupe linéaire GL(E).
Noyau et image
Pour toute application linéaire f de E dans F, les vecteurs x de E tels que f(x) = 0 forment un sous-espace vectoriel de E, appelé le noyau de f et noté Ker(f) ; les vecteurs f(x) pour x dans E forment un sous-espace vectoriel de F, appelé l'image de f et noté Im(f) ; f est injective si et seulement si Ker(f) = {0}, surjective si et seulement si Im(f) = F ; la dimension de Im(f), appelée le rang de f, est inférieure ou égale à celles de E et F. Elle est reliée à celles de E et Ker(f) par le théorème du rang : +
Le graphe de f est un sous-espace vectoriel de E × F, dont l'intersection avec E × {0} est Ker(f) × {0}.
Forme linéaire
Une forme linéaire sur un K-espace vectoriel E est une application linéaire de E dans K. Si K est commutatif, les formes linéaires sur E forment un K-espace vectoriel appelé l'espace dual de E et noté E*. Les noyaux des formes linéaires non nulles sur E sont les hyperplans de E.
Produits et sommes directes
La somme F + G de deux sous-espaces vectoriels F et G, définie par
coïncide avec le sous-espace vectoriel engendré par F⋃G. Cette construction se généralise à une famille quelconque (non vide) de sous-espaces vectoriels.
La formule de Grassmann relie les dimensions de F et G à celles de leur somme et de leur intersection :
Les deux sous-espaces F et G de E sont dits « en somme directe » lorsque la décomposition de tout vecteur de leur somme F + G en une somme de deux vecteurs, l'un appartenant à F et l'autre à G, est unique (il suffit pour cela que la décomposition de 0 soit unique, c'est-à-dire que F∩G = {0}). Cette définition se généralise à la somme d'une famille quelconque (non vide) (F) de sous-espaces. Si cette somme est directe alors les F sont d'intersection nulle deux à deux mais la réciproque est fausse.
Une somme F + G, lorsqu'elle est directe, est notée F⊕G. Les sous-espaces F et G sont dits supplémentaires (l'un de l'autre) dans E s'ils sont en somme directe et si de plus, cette somme est égale à E. Le théorème de la base incomplète garantit que tout sous-espace vectoriel possède au moins un supplémentaire.