En géométrie, la notion de jauge généralise celle de semi-norme. À toute partie d'un ℝ-espace vectoriel on associe sa jauge, ou fonctionnelle de Minkowski , qui est une application de dans mesurant, pour chaque vecteur, par quel rapport il faut dilater pour englober ce vecteur. Dès que contient l'origine, est positivement homogène ; si est étoilée par rapport possède d'autres propriétés élémentaires. Si est convexe — cas le plus souvent étudié — est même sous-linéaire, mais elle n'est pas nécessairement symétrique et elle peut prendre des valeurs infinies. Sous certaines hypothèses supplémentaires, est une semi-norme dont est la boule unité.
Cette notion intervient en analyse fonctionnelle (démonstration de la forme analytique du théorème de Hahn-Banach), en optimisation (problème de recouvrement par jauge, optimisation conique), en apprentissage automatique, en géométrie des nombres (second théorème de Minkowski)
Dans tout cet article, désigne un espace vectoriel réel, qu'on supposera topologique chaque fois que nécessaire.
Jauge d'une partie quelconque
Exemple Soient et tel que . Pour tout , et pour tout , .
Premières remarques Le domaine effectif d'une fonction à valeurs dans est l'ensemble des points où elle ne prend pas la valeur .. En particulier, si , et l'on a :
est décroissante : pour toutes parties et ,. Les ensembles de sous-niveau de sont homothétiques :ou, ce qui est équivalent : pour tout vecteur , . Par conséquent, est : « fermée » (c'est-à-dire semi-continue inférieurement) si et seulement si est fermé, semi-continue supérieurement si et seulement si est ouvert. (donc si est symétrique par rapport à alors ). . Si alors donc est positivement homogène, c'est-à-dire que l'équation fonctionnelle précédente est vérifiée non seulement pour mais aussi pour Par convention, (cf. par exemple ou ). :.La section suivante montre que réciproquement, toute fonction positivement homogène de dans est une jauge (c'est-à-dire : est la jauge d'une partie de Cette précision, redondante dans cet article, sera dorénavant implicite. Noter cependant que appelait les applications sous-linéaires (à valeurs dans ) ; , nommaient ainsi celles à valeurs dans ; et , celles à valeurs dans , car il excluait de son étude les jauges d'ensembles non convexes.).
Jauge d'une partie étoilée Avant d'affiner l'étude dans le cas particulier plus utile d'un convexe contenant , considérons, . une partie étoilée (par rapport à , ce qui sera désormais implicite), c'est-à-dire une partie contenant et telle que .
Propriétés algébriques On sait déjà que et que est positivement homogène. La nouvelle hypothèse permet de préciser la situation :
En outre : pour toutes parties étoilées et , (ce qui est plus précis que la simple décroissance de ) ; Ce cône est noté dans l'article « Cône asymptotique », où est supposé convexe. donc , ce qui fournit la première des deux équivalences ci-dessous ; la condition suffisante de finitude trouvée précédemment pour une partie quelconque devient nécessaire (seconde équivalence).
Ces deux conditions seront reformulées plus loin, dans le cas d'un convexe en dimension finie.
Propriétés topologiques L'une des deux inclusions de la caractérisation ci-dessus est parfois une égalité : si est ouvert alors ; si est fermé alors .
Jauge d'un convexe Si une jauge nulle en est convexe alors les deux ensembles et sont non seulement étoilés mais convexes, et est la jauge de ces deux convexes. Les jauges de ce type sont caractérisées par la propriété suivante.
Toute application sous-linéaire est convexe et pour une jauge nulle en , ces deux notions sont équivalentes :
La réciproque est fausse, comme le montre l'exemple suivant.
Exemple La fonction sous-linéaire sur qui, en , vaut si et si , est la jauge des deux convexes et , ainsi que de tous les ensembles intermédiaires (tous étoilés, mais pas tous convexes).
Jauges sous-linéaires ne prenant pas la valeur On a déjà remarqué que la jauge d'une partie étoilée est à valeurs finies si et seulement si est absorbante.
Tout voisinage de 0 est absorbant ; en dimension finie, on vérifie facilement que réciproquement, tout convexe absorbant est un voisinage de 0 — on peut le faire assez élégamment en remarquant qu'en tant que fonction convexe à valeurs finies et définie partout, est alors continue, et que l'ensemble (contenant et inclus dans ) est donc ouvert. En résumé :
Lorsque est intérieur à , on peut se faire une image mentale simple de la jauge via ses surfaces de niveau : l'ensemble des points où elle prend la valeur est exactement la frontière du convexe ; les surfaces de niveau pour les autres valeurs strictement positives sont les homothétiques de cette frontière ; en les éventuels points restant non couverts par la réunion de ces surfaces de niveau, la jauge prend la valeur 0.
On peut enfin remarquer que (pour un espace vectoriel réel), si est symétrique par rapport à 0 avec une jauge évitant la valeur , la jauge est alors une semi-norme ; il en est de même pour un espace vectoriel complexe si l'on exige une version améliorée de la symétrie, à savoir l'invariance sous multiplication par n'importe quel complexe de module .
Jauges sous-linéaires ne s'annulant qu'en l'origine On a déjà remarqué que la jauge d'une partie étoilée ne s'annule qu'en l'origine si et seulement si ne contient aucune demi-droite issue de l'origine.
Si est bornée (dans un espace vectoriel normé ou plus généralement, dans un espace vectoriel topologique séparé) alors elle ne contient aucune telle demi-droite.
La réciproque est vraie pour un convexe fermé en dimension finie, et se démontrerait en exploitant la compacité de la sphère de rayon 1 (la seule hypothèse « convexe » ne suffit pas ici : cf. § « Exemple » ci-dessus) :
Exemples d'utilisation Dans la théorie des espaces vectoriels topologiques, c'est par l'introduction d'une collection appropriée de jauges qu'on peut caractériser les espaces localement convexes en termes de semi-normes, § I.2.. En géométrie des convexes, la jauge est un outil intéressant pour ramener un problème purement géométrique (recherche d'un hyperplan) à un problème analytique (recherche d'une équation de l'hyperplan). Ainsi dans la preuve de la « forme géométrique » du théorème de Hahn-Banach — fondement de toute la théorie de la séparation des convexes et des hyperplans d'appui —, un pas essentiel est la constatation qu'exiger de l'hyperplan d'équation qu'il évite un convexe donné (ouvert et contenant 0), c'est la même chose que de demander à de majorer .
Aspects calculatoires Dans cette sectionLes résultats de cette section sont repris de , , et ., il s'agira exclusivement de jauges sous-linéaires sur un espace euclidien , dont le produit scalaire est noté .
Pour une telle jauge , nous noterons son ensemble de sous-niveau :
.
Rappelons que l'adhérence d'une partie de est notée et que le polaire de est le convexe fermé contenant l'origine, noté et défini par
On peut donner une autre expression du polaire de :
.
Adhérence
Par conséquent : est la plus grande jauge fermée minorant ; les épigraphes de et sont reliés par .
Polaire
Propriétés est fermée. Cette propriété tient lieu de définition de dans .. La bipolaire de est égale à son adhérence : (car , d'après les propriétés de l'ensemble bipolaire). La polaire de est égale à la fonction d'appuiLa fonction d'appui d'une partie de est définie par . de , donc à la conjuguéeLa conjuguée d'une fonction est définie par . de la fonction indicatriceEn analyse convexe, la fonction indicatrice d'une partie d'une partie de est la fonction qui s'annule sur et prend la valeur sur le complémentaire de . de . Si est une norme, est sa norme dualePour le voir, on peut par exemple utiliser la relation précédente. (en particulier si est la norme euclidienne, ). Inégalité de Cauchy-Schwarz généralisée : donc (en remplaçant par )ce qui renforce l'inégalité précédente puisque .
Sous-différentiel Le sous-différentiel de en un point vérifie (en particulier, et si , ).
On en déduit : , avec égalité si est fermée.
Quelques remarques sur le résultat ci-dessus. Il existe des jauges et des points pour lesquels l'inclusion ci-dessus est stricte.C'est le cas, dans le plan euclidien, pour la jauge du § « Exemple » ci-dessus et le point : , tandis que donc . est sous-différentiableOn dit que est sous-différentiable en si . en tout point de si, et seulement si, est intérieur à .En effet est intérieur à si et seulement si ne prend que des valeurs finies. Or si ne prend que des valeurs finies alors elle est sous-différentiable en tout point (puisqu'elle est convexe), et réciproquement (puisque ).
Notes et références
Notes
Références
Bibliographie
Catégorie:Géométrie convexe Catégorie:Analyse convexe Catégorie:Hermann Minkowski