En mathématiques une courbe quintique est une courbe algébrique plane de degré 5. Elle peut être définie par un polynôme de la forme :
dont les coefficients sont dans un corps commutatif donné. L'équation a 21 coefficients, mais la courbe ne change pas si on les multiplie tous par une constante non nulle. On peut donc fixer à et se contenter de 20 coefficients. Il y a donc une infinité de quintiques, et chacune d'elles est identifiée par son passage par 20 points génériques.
vignette|Une courbe quintique à 28 bitangentes
Caractéristiques Une courbe quintique (n = 5) définie sur le corps des réels et irréductible peut avoir au maximum :
(n – 1)(n – 2)/2 + 1 = 7 composantes connexes, d'après le théorème de Harnack..
Par ailleurs, les formules de Plücker montrent qu'elle peut avoir au plus : (n – 1)(n – 2)/2 = 6 points doubles ; n(n – 2)(n – 3)(n + 3)/2 = 120 bitangentes, c'est-à-dire de droites qui sont des tangentes à la courbe en 2 points ; 3n(n – 2) = 45 points d'inflexion.
Applications Les courbes quintiques apparaissent dans l'étude des problèmes de courbes à réaction constante : quelle doit-être la forme de la courbe suivie par un point dans un champ de gravitation de sorte que la réaction du point sur la courbe soit constante ?
Exemples de courbes quintiques définies sur le corps des réels
Courbe de Burnside
Courbe kératoïde
Courbe en quilles
Courbe de l'Hospital
Courbe de Mutasci
Courbe sinusoïdale
Maracas de Chioppa
Butterfly Catastrophe
Courbe à bulbe
Feuille de Patarino
Courbe en tulipe
Courbe en gouttes
Courbe à point triple
Impulsion unique
Double impulsion
Courbe à trois nœuds coulants
Courbe avec deux points de rebroussement et deux croisements
Courbe à 36 bitangentes
Courbe avec 10 inflexions
Courbe à six composantes connexes
Courbe à six croisements
Illustrations
Notes et références
Voir aussi Articles connexes Équation quintique Courbe quartique Courbe algébrique réelle plane
Liens externes (site de courbes et surfaces maintenu par Robert Ferreol) (brève définition des courbes quintiques) (exécutable pour tracer des courbes quintiques)
Quintique (courbe) Catégorie:Courbe algébrique