En mathématiques, la fonction "somme des puissances k-ièmes des diviseurs", notée , est la fonction multiplicative qui à tout entier associe la somme des puissances -ièmes des diviseurs positifs de , où est un nombre complexe quelconque Gérald Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Belin, page 26.:
Propriétés
La fonction est multiplicative, c'est-à-dire que, pour tous entiers et premiers entre eux, . En effet, est le produit de convolution de deux fonctions multiplicatives : la fonction puissance -ième et la fonction constante 1. Si est un nombre premier alors est une somme partielle de série géométrique :(La condition équivaut à , ce qui est vrai pour tous les si est nul et pour au plus un sinon.) En particulier, n'est pas complètement multiplicative. L'utilisation des deux propriétés précédentes permet de déterminer connaissant la décomposition en facteurs premiers de : On peut aussi calculer (p) par les polynômes de Tchebychev : soient le polynôme de Tchebychev de seconde espèce de degré , et sa renormalisation, définie par . AlorsEmmanuel Royer. Un cours « Africain » sur les formes modulaires. :
Notons . Il s'agit de prouver que
ou, plus généralement, qu'on a l'égalité de polynômes :
Il suffit pour cela de la vérifier sur une infinité de valeurs. Or pour tout réel non multiple de , en posant , on a
donc
ce qui conclut.
Par multiplicativité, on déduit du point précédent:(où désigne le pgcd de et ) puis, par inversion de Möbius :. On a l'identité permettant d'évaluer l'ordre moyen de :
La série de Dirichlet associée à s'exprime à l'aide de la fonction de Riemann :et l'on a la relation :
Cas où k est un entier naturel
Fonction nombre de diviseurs
La fonction, . (), également notée ; . , est aussi appelée fonction tauEdmund Landau Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Berlin 1909. (de l'allemand : diviseur) et notée . Elle compte le nombre de diviseurs positifs de :La suite est répertoriée comme .
Fonction somme des diviseurs
La fonction sigma est parfois notée . On aPar exemple, si pour deux nombres premiers distincts et , alors
où φ est l'indicatrice d'Euler.
La somme des diviseurs stricts de est
L'entier est dit parfait si , déficient si et abondant si .
La suite est répertoriée comme .
Autres valeurs de La suite est répertoriée comme .
La suite est répertoriée comme .
Notes et références
Voir aussi Articles connexes
Constante d'Erdős-Borwein Constante d'Euler-Mascheroni Ordre moyen d'une fonction arithmétique Série de Lambert
Bibliographie
Liens externes
Somme des puissances k Somme des puissances k