Exemple de développement infini en fraction continue.
En mathématiques, une fraction continue ou fraction continue simple ou plus rarement fraction continuéePour Jean Dieudonné, (), d'où la traduction littérale de « fraction continuée ». Selon , . est une expression de la forme :
comportant un nombre fini ou infini d'étages.
On montre qu'on peut « représenter » tout nombre réel sous forme d'une fraction continue, finie ou infinie, dans laquelle est un entier relatif et les autres des entiers strictement positifs (appelés les coefficients du développement en fraction continue, ou ses quotients partiels, ou encore ses quotients incomplets).
Comme dans la notation décimale usuelle, où chaque réel est approché par des nombres décimaux de plus en plus précisément au fur et à mesure de la donnée des décimales successives, de même chaque réel est approché par des fractions étagées de la forme ci-dessus de plus en plus précisément au fur et à mesure qu'on ajoute des étages. En outre, s'il faut une infinité de décimales pour décrire exactement un nombre non décimal, il faut un développement infini en fraction continue pour décrire exactement un nombre irrationnel.
Les fractions continues sont utiles en approximation diophantienne, notamment parce qu'elles fournissent, en un certain sens, les « meilleures » approximations des réels par des rationnels. Cette propriété est à l'origine d'algorithmes pour l'approximation de racines carrées, mais aussi de démonstrations d'irrationalité voire de transcendance pour certains nombres comme ou e. La périodicité des fractions continues des racines carrées d'entiers strictement supérieurs à 1 et sans facteur carré a des conséquences utiles pour l'étude de l'équation de Pell-Fermat.
Déjà usitées chez les mathématiciens indiens au Moyen Âge, les fractions continues sont étudiées en Europe dès le . Elles sont maintenant généralisées à d'autres expressions, appliquées aux approximations de séries entières appelées approximant de Padé, ou encore adaptées aux applications linéaires. vignette|John Wallis, à la suite des travaux de William Brouncker, utilise pour la première fois l'expression « fraction continue ».
Tour d'horizon La notion de fraction continue est vaste et se retrouve dans de nombreuses branches des mathématiques. Les concepts associés peuvent être relativement simples comme l'algorithme d'Euclide, ou beaucoup plus subtils comme celui de fonction méromorpheL'association à l'algorithme d'Euclide est traité dans cet article. Celui avec les fonctions méromorphes se trouve, par exemple, dans l'étude des approximants de Padé, développée dans , qui valut à son auteur le Grand prix de l'Académie des sciences de Paris en 1906..
Il est possible, dans un premier temps, de voir une fraction continue comme une suite d'entiers qui « représente » un réel. Cette situation est un peu la même que celle du système décimal qui représente par la suite d'entiers 3, 1, 4, 1, 5, 9… Sous forme de fraction continue, la suite est 3, 7, 15, 1, 292, 1, 1… Un premier champ d'étude consiste à étudier la relation entre la suite 3, 7, 15, 1, 292, 1, 1… et celle des nombres rationnels que propose la fraction continue, en l'occurrence 3, 22/7, 333/106, etc., il permet de savoir comment passer de la première suite à la deuxième, comment la deuxième converge et répond à d'autres questions de cette nature. Tel est essentiellement l'objet de cet article.
vignette|Joseph-Louis Lagrange établit de manière rigoureuse les propriétés des fractions continues des irrationnels quadratiques. Les fractions continues ont une relation particulière avec les racines carrées ou plus généralement les nombres, dits irrationnels quadratiques, de la forme où et sont des nombres rationnels, non nul, et un entier sans facteur carré. Les fractions continues associées sont périodiques, à partir d'un certain rang, c'est-à-dire que la suite des entiers formant la fraction continue se répète à partir d'un certain rang et jusqu'à l'infini.. Cette situation est à l'image des représentations décimales infinies de nombres rationnels. Ces fractions continues permettent de résoudre un célèbre problème d'arithmétique appelé équation de Pell-FermatLa résolution historique par Joseph-Louis Lagrange figure dans : (original ).. Cette question fait l'objet de l'article « Fraction continue d'un irrationnel quadratique ».
À l'image du système décimal, la fraction continue offre des nombres rationnels de plus en plus approchés de leur cible. Ces approximations sont bien meilleures que celles décimales. La deuxième approximation décimale de , égale à 31/10 possède un dénominateur relativement proche de celui de la deuxième approximation de la fraction continue 22/7, en revanche 22/7 est plus de 30 fois plus précis que 31/10. Ce type d'approche d'un nombre réel par un nombre rationnel est appelé approximation diophantienne. Les fractions continues y jouent un grand rôle. Elles ont permis de construire les premiers nombres transcendants connus : les nombres de LiouvilleLiouville utilise cet ingrédient en 1844, mais montre en 1851 qu'il était superflu : voir l'article « Théorème de Liouville (approximation diophantienne) ». ou de montrer que le nombre est irrationnel Leonhard Euler, De fractionibus continuis dissertatio, présenté en 1737 et publié en 1744. Une analyse historique est proposée par : .. À condition de généraliser la définition d'une fraction continue, il devient possible de montrer que est aussi irrationnel — cette approche est traitée dans l'article « Fraction continue et approximation diophantienne ». (En fait, et sont même transcendants, d'après le théorème d'Hermite-Lindemann.)
Une fraction continue ne concerne pas uniquement les nombres mais aussi les fonctions. On généralise encore plus les fractions continues en remplaçant les coefficients par des polynômesUn exemple introductif est fourni par l'auteur de la théorie dans .. Une motivation provient de l'analyse complexe, qui a pour objet l'étude des fonctions de la variable complexe à valeurs complexes, dérivables en tant que telles. L'approche classique consiste à les définir comme séries entières donc comme limites de polynômes. Une spécificité fréquente de ce type de fonction est de posséder des pôles. Si, au lieu d'approcher la fonction par des polynômes, on utilise des quotients, on construit une suite d'approximants de Padé qui ne possède pas nécessairement cette faiblesseEn 1894, T.-J. Stieltjes, dans ses « Recherches sur les fractions continues », étudie la convergence de telles fractions continues..
D'autres propriétés ont été étudiées. À la différence du système décimal, un entier apparaissant dans une fraction continue n'est en général pas borné par 9, il peut devenir arbitrairement grand. Alexandre Khintchine s'est intéressé à la moyenne, au sens de limite des moyennes géométriques de tous ces dénominateurs. Pour presque tous les nombres, cette moyenne est la même (le mot « presque » possède ici le sens technique de la théorie de la mesure) ; cette moyenne est appelée constante de Khintchine.
Il est aussi possible de construire des développements en fractions en plaçant les barres de fraction sur le numérateur et non en dessous : on obtient un développement en série de Engel :
Repères chronologiques vignette|gauche|Aryabhata, un mathématicien indien, fait usage des fractions continues dès le . L'usage des fractions continues est ancien. Aryabhata (476-550), un mathématicien indien les utilise pour résoudre des équations diophantiennes ainsi que pour approximer précisément des nombres irrationnelsGeorges Ifrah, Histoire universelle des chiffres : L'intelligence des hommes racontée par les nombres et le calcul, Robert Laffont, 1994 .. Brahmagupta (598-668) étudie plus en profondeur l'équation maintenant dite de Pell-Fermat, en utilisant une identité remarquable. Il cherche à résoudre l'équation et trouve la plus petite solution : x = et y = .
Au , la méthode est enrichie par Bhāskara II. Un algorithme, la méthode chakravala, analogue à celui des fractions continues, permet de résoudre le cas général, 2010, .. La différence la plus marquante avec la méthode européenne ultérieure est qu'il autorise les nombres négatifs dans la fraction, permettant une convergence plus rapideBhāskara II, Bijaganita, 1150, d'après ..
L'apparition en Europe est plus tardive et italienne. Raphaël Bombelli (1526-1572) fait usage d'un ancêtre des fractions continues pour le calcul d'approximations de la racine carrée de 13.. Pietro Cataldi (1548-1626) comprend que la méthode de Bombelli s'applique pour toutes les racines carrées, il l'utilise pour la valeur 18 et écrit un petit opuscule à ce sujet S. Maracchia, Estrazione di radice quadrata secondo Cataldi, Archimede 28 (2), 1976, .. Il remarque que les approximations obtenues sont alternativement supérieures et inférieures à la racine carrée cherchée.
Un progrès décisif a lieu en Angleterre. Le , Pierre de Fermat défie les mathématiciens européens avec plusieurs questions dont l'équation déjà résolue par BrahmaguptaLaurent Hua et Jean Rousseau, Fermat a-t-il démontré son grand théorème ? l'hypothèse "Pascal", L'Harmattan, 2002 , .. La réaction des anglais, piqués au vifJohn Wallis, un mathématicien anglais, rétorqua : il ne trouvera pas mauvais, je crois, que nous lui rendions la pareille, et cela, non pas sur une bagatelle. Ces informations sont extraites de la page Pierre de Fermat sur le site de la commune de Beaumont-de-Lomagne., est rapide. William Brouncker (1620-1684) trouve la relation entre l'équation et la fraction continue, ainsi qu'une méthode algorithmique équivalente à celle des indiens pour le calcul de la solution. Il produit la première fraction continue généralisée, pour le nombre Voir Formule de Brouncker.. Ces résultats sont publiés par John Wallis qui en profite pour démontrer les relations de récurrence utilisées par Brouncker et Bhāskara II. Il donne le nom de fraction continue dans la phrase : . À cette époque, Christian Huygens (1629-1695) utilise les approximations rationnelles données par le développement en fractions continues pour déterminer le nombre de dents des engrenages d'un automate planétaireCes informations, comme l'essentiel de ce paragraphe proviennent de ..
vignette|Henri Padé étudie en 1892 le cas des fractions continues construites à l'aide de polynômes.
Quelques questions théoriques sont résolues au siècle suivant. L'usage montre que l'algorithme des fractions continues permet de résoudre l'équation de Pell-Fermat en utilisant le fait que la fraction est périodique à partir d'un certain rang. Leonhard Euler (1707-1783) montre que si un nombre possède une fraction continue périodique, alors il est solution d'une équation du second degré à coefficients entiers L. Euler, Introductio in analysin infinitorum, 1748, vol. I, chap. 18.. La réciproque, plus subtileCes résultats furent édités par . Ce livre contient les Additions aux Éléments d'Algèbre d'Euler par Lagrange, rééditées dans . Elles contiennent les deux preuves citées et résument l'essentiel du savoir sur les fractions continues à la fin du ., est l'œuvre de Joseph-Louis Lagrange (1736-1813). Durant ce siècle, Jean-Henri Lambert (1728-1777) trouve une nouvelle utilité aux fractions continues. Il les utilise pour montrer l'irrationalité de .