En mathématiques, le théorème de Zermelo, appelé aussi théorème du bon ordre, est un résultat de théorie des ensembles, qui affirme que tout ensemble peut être muni d'une structure de bon ordre, c'est-à-dire d'un ordre tel que toute partie non vide possède un plus petit élément. Il utilise nécessairement l'axiome du choix. Il a été démontré par Ernst Zermelo dans un article paru en 1904, où l'axiome du choix est énoncé et utilisé explicitement.
Axiome du choix, théorème de Zermelo et lemme de Zorn Le théorème de Zermelo, l'axiome du choix et le lemme de Zorn sont équivalents :
Le théorème de Zermelo implique l'axiome du choix Dans l'une de ses formulations, l'axiome du choix affirme que pour tout ensemble E, il existe une fonction qui à toute partie non vide de E associe un élément de cette partie. Une telle fonction peut être définie à partir d'un bon ordre sur E, en associant à chaque partie non vide de E son minimum pour le bon ordre considéré. Le théorème de Zermelo, qui affirme que tout ensemble peut être muni d'un bon ordre, implique donc l'axiome du choix.
Le lemme de Zorn implique le théorème de Zermelo Soit E un ensemble, soit M l'ensemble des relations de bon ordre sur une partie de E. M lui-même peut être muni d'un ordre partiel : on dit qu'un bon ordre o est inférieur ou égal à un bon ordre o si o est un segment initial de o. On vérifie ensuite que M muni de cette relation est un ensemble inductif. Toute chaîne de M admet un majorant (qui est même une borne supérieure) : la relation dont le graphe est la réunion des graphes des ordres de la chaîne. On vérifie que cette relation est bien une relation de bon ordre (on exploite le fait que la chaîne est ordonnée par segment initial). Donc M admet un élément maximal. Un tel élément maximal est alors un bon ordre sur tout E (on pourrait sinon le prolonger en un bon ordre successeur, ce qui contredirait la maximalité).
Le lemme de Zorn implique donc l'axiome du choix (une preuve directe, sur le même principe, en est donnée dans l'article sur le lemme de Zorn). Réciproquement :
L'axiome du choix implique le lemme de Zorn
Controverses sur le théorème À la suite de la publication de Zermelo dans Mathematische Annalen, Emile Borel, dans le volume suivant de la même revue, exprime son désaccord quant à l'utilisation par Zermelo de l'axiome du choix. Il en suivra cinq lettres de débat entre Emile Borel, Jacques Hadamard, René Baire, et Henri Lebesgue.
Notes et références
Bibliographie
Zermelo Catégorie:Théorie des ordres
he:עקרון הסדר הטוב