En mathématiques, l'anticommutativité est la propriété caractérisant les opérations pour lesquelles intervertir deux arguments transforme le résultat en son opposé. Par exemple, une opération binaire ✻ est anticommutative si . Cette propriété intervient en algèbre, en géométrie, en analyse et, par conséquent, en physique.
Définition Étant donné un entier naturel , une opération -aire est dite anticommutative si intervertir deux arguments transforme le résultat en son opposé.
Plus formellement, une application de l'ensemble de tous les -uplets d'éléments d'un ensemble dans un groupe est dite anticommutative si pour toute permutation de l'ensemble , on a : , où désigne la signature de .
Cette formule est à interpréter comme suit : si deux -uplets se déduisent l'un de l'autre par une permutation impaire alors leurs images sont symétriques l'une de l'autre dans le groupe ; si deux -uplets se déduisent l'un de l'autre par une permutation paire alors ils ont même image. La formule comporte donc un abus de notation puisqu'a priori, l'ensemble d'arrivée est seulement un groupe, dans lequel « –1 » et la multiplication n'ont pas de sens précis. Dans le groupe , noté ici additivement, représente le symétrique (ou opposé) d'un élément .
Le cas est particulièrement important. Une opération binaire est anticommutative si , ce qui signifie que est l'élément symétrique de dans le groupe .
Exemples Sont anticommutatifs : la soustraction ; le produit vectoriel ; le crochet de Lie. Une application multilinéaire anticommutative est dite antisymétrique.
Propriété Si le groupe est tel que , c'est-à-dire si l'élément neutre est le seul élément qui soit égal à son symétrique alors : pour toute opération binaire ✻ anticommutative et tout élément on a : ; plus généralement, pour toute opération -aire ✻ anticommutative, l'image de tout -uplet comportant une répétition ( tel que pour au moins deux indices et distincts) est égale à l'élément neutre : .
Cette propriété est plus connue dans le cas particulier d'une application -linéaire antisymétrique ( et étant des espaces vectoriels sur un même corps ) : si la caractéristique de est différente de 2 alors le seul vecteur de égal à son opposé est le vecteur nul, si bien que est alternée.
Voir aussi Articles connexes Loi commutative Commutateur (théorie des groupes) Algèbre extérieure Physique statistique Matrice antisymétrique Bibliographie , voir chap. 3 : « Algèbres tensorielles, algèbres extérieures, algèbres symétriques ». Lien externe
Crédit d'auteurs
Catégorie:Algèbre générale Catégorie:Vocabulaire de l'algèbre Catégorie:Opération