vignette|upright|Nombres heureux de 1 à 100 représentés sur un arbre
En mathématiques, un entier naturel non nul est un nombre heureux si, lorsqu'on calcule la somme des carrés de ses chiffres dans son écriture en base dix puis la somme des carrés des chiffres du nombre obtenu et ainsi de suite, on aboutit au nombre 1. Un nombre est malheureux lorsque ce n'est pas le cas.
Définition et propriétés Considérons un entier strictement positif et la suite récurrente obtenue en posant où est l'application qui à un entier naturel fait correspondre la somme des carrés de ses chiffres en base 10. Cette suite est dénommée suite de Porges du nom de Arthur Porges qui l'a considérée en 1945.
Contrairement à la suite de Syracuse dont le destin est inconnu (en 2023), on peut démontrer que la suite finit par boucler sur un des cycles suivants : (1), (cas où est heureux) ou (4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20) (cas où est malheureux). Le principe de la démonstration consiste à prouver informatiquement le résultat pour les nombres à 1 ou 2 chiffres, à montrer que si est à 3 chiffres, et que si le nombre de chiffres de est , alors le nombre de chiffres de est .
Évaluation asymptotique Il existe une infinité de nombres heureux, et il semble qu'environ 1 entier sur 7 soit heureux. Leur ensemble n'a cependant pas de densité asymptotique : la densité supérieure des nombres heureux est supérieure à 0,18577 et la densité inférieure est inférieure à 0,1138.
Historique vignette|upright|Représentation des nombres malheureux de 1 à 100.
L'origine de l'appellation "nombre heureux" n'est pas claire. Les nombres heureux ont été portés à l'attention de Reg Allenby (auteur britannique et maître de conférences en mathématiques pures à l'Université de Leeds) par sa fille, qui les avait rencontrés à l'école. Cependant, ils sont « peut-être originaires de Russie ».
Exemples Le nombre 7 est heureux, puisque sa suite associée est :
Dès que, dans la suite associée à un nombre, on rencontre 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42 ou 20, la suite devient périodique et le nombre en question est malheureux, puisque
Listes de nombres associées
Les dix plus petits nombres heureux sont : 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44 (). Les autres entiers entre 1 et 44 sont donc malheureux ().
Un nombre est heureux si et seulement si le nombre obtenu en supprimant ses zéros et en ordonnant ses chiffes dans l'ordre croissant est heureux. La liste de ces derniers commence par 1, 7, 13, 19, 23, 28, 44, 49, 68, 79 ().
Le nombre de nombres heureux inférieurs ou égaux à 1, à 10, à 100, à 1 000 vaut (respectivement) 1, 3, 20 et 143 ().
Les nombres heureux premiers sont 7, 13, 19, 23, 31, 79 ().
La suite de Porges démarrant à est répertoriée .
Les deux premiers couples de nombres heureux consécutifs sont, (31,32), et (129,130). La suite des premiers termes de ces couples est répertoriée .
Le premier triplet de 3 nombres heureux consécutifs débute avec 1880. Le premier quadruplet débute avec 7839.
Hauteur d'un nombre heureux La hauteur d'un nombre heureux est le nombre d'itérations nécessaires pour atteindre 1. Les plus petits nombres heureux de hauteur 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sont respectivement 1, 10, 13, 23, 19, 7, 356, 78999. Pour la hauteur 8, le plus petit est 3788 suivi de 973 chiffres 9 ; voir .
Toutes les hauteurs possibles sont atteintes ; en effet, si un nombre heureux a pour hauteur , le nombre formé de chiffres 1 (un rep-unit) a pour hauteur .
Généralisations On peut changer de base. La suite des plus petits nombres malheureux en base est répertoriée (sachant que tous les nombres sont heureux en base 2 et 4).
On peut augmenter l'exposant. Par exemple, pour des cubes, il y a cinq points fixes : 153, 370, 371, 407 (qui sont donc des nombres narcissiques), deux cycles de longueur 2, et deux cycles de longueur 3
Voir aussi
Persistance d'un nombre (concernant l'itération de la somme simple des chiffres).
Liens externes
André-Jean Glière, de surprenantes arithmétiques, Au fil des maths, N° 528, 2018
Nombres heureux sur Mathews Football and happiness
Bibliographie
Heureux (nombre)