vignette|Ordre des opérations vignette|Définitions des acronymes PEMDAS et BODMAS
En mathématiques, la priorité des opérations ou ordre des opérations est un ensemble de règles d'usage pour le calcul des opérations mathématiques. Elle précise l'ordre dans lequel les calculs doivent être effectués dans une expression complexe.
Les règles de priorité sont :
Les calculs entre parenthèses ou crochets sont prioritaires sur les calculs situés en dehors. La barre horizontale de fraction ou de racine joue le rôle d'une parenthèse ; L'exponentiation est prioritaire sur la multiplication, la division, l'addition et la soustraction ; La multiplication et la division sont prioritaires sur l'addition et la soustraction ; Dans les parenthèses, on effectue les multiplications et divisions de gauche à droite. Même chose ensuite pour les additions et soustractionsCette règle n'est parfois pas nécessaire (voir ) et est même parfois fortement critiquée (voir )..
PEMDAS est un moyen mnémotechnique qui permet de se souvenir facilement de ces règles de priorité. Il signifie Parenthèse, Exposant, Multiplication et Division, Addition et Soustraction ; multiplication et division étant sur un même niveau, tout comme addition et soustraction.
Exemples Dans une succession d'additions et de soustractions, on peut effectuer les calculs de gauche à droite
mais d'autres regroupements sont possibles
(mais on n'effectuera pas : )
Dans un calcul tel que , priorité est donnée à la multiplication :
(et on n'effectuera pas ainsi : , comme on serait tenté de le faire par lecture de gauche à droite).
L'usage de parenthèses permet donc de créer une exception aux priorités opératoires (multiplications et divisions prioritaires sur les additions et soustractions).
Ainsi, un calcul comme s'effectue ainsi : .
Ces quatre règles se complètent les unes les autres : ainsi le calcul s'effectue ainsi : (priorité aux calculs entre parenthèses ) (priorité à la multiplication sur la soustraction précédant les crochets) (priorité à la multiplication au sein des crochets) (priorité à la somme entre crochets) (différence finale)
Une calculatrice scientifique prend en compte cet ordre des opérations mais effectuera les additions et soustractions mêlées ainsi que les produits et divisions mêlées dans l'ordre d'apparition des opérandes.
Cas particuliers Exponentiation et négation
Diverses conventions régissent l'opérateur de soustraction unaire. En mathématiques écrites ou imprimées, l'expression −32 est interprétée comme .
Dans certaines applications et langages de programmation, notamment Microsoft Excel (mais aussi d'autres tableurs comme LibreOffice) et le langage de programmation bc, les opérateurs unaires ont une priorité plus grande que les opérateurs binaires.
Ainsi le moins unaire est prioritaire sur l'exponentiation et donc, dans ces langages, −32 est interprété comme .. Cela ne s'applique pas à l'opérateur binaire −. Par exemple, alors que les formules =-2^2 et =0+-2^2 renvoient 4 sous Microsoft Excel, la formule =0-2^2 renvoie −4.
Dans les cas où il est possible que la notation soit mal interprétée, une opération binaire peut être renforcée en spécifiant explicitement le 0 précédent (comme dans 0-2^2 plutôt que juste -2^2), ou en ajoutant des parenthèses pour clarifier le sens attendu.
Mélange d'additions et soustractions sans parenthèse Il est fréquent de voir, dans les manuels, le conseil d'effectuer les calculs dans l'ordre de la gauche vers la droite.. Mais ce conseil ne peut pas avoir valeur de règle nécessaire puisque d'autres ordres de calculs sont possibles. En particulier, le calcul d'une succession d'additions peut s'effectuer dans l'ordre de son choix en associant les termes au gré de la fantaisie de chacun et souvent dans l'objectif de simplifier les calculs.
Ainsi, la somme a tout intérêt à s'effectuer par regroupements des termes et plutôt que de la gauche vers la droite.
Il en est de même pour une succession d'additions et de soustractions dès lors que la soustraction est transformée en addition de l'opposé.
Ainsi, l'expression peut être lue comme et s'effectuer par regroupement des termes , puis puis .
L'intérêt de la règle de gauche à droite est sa simplicité et le fait qu'elle évite les associations fautives comme le serait, dans l'exemple précédent, l'association 95 + 8.
Mélange de divisions et de multiplications vignette|1=6/2(1+2) sur deux calculatrices.
Une règle parfois utilisée mais également très critiquée. propose, dans un mélange de multiplications et divisions, de calculer de la gauche vers la droite. Ainsi 80÷4×2 se lira (80÷4) × 2. Cette règle est compatible avec la commutativité de la multiplication, et cohérente avec la technique consistant à remplacer la division par la multiplication inverse et réécrire ce calcul .
Mais l'usage des mathématiciens concernant l'enchaînement des multiplications et des divisions hésite. Ainsi, en 1928, l'historien des mathématiques Florian Cajori indique dans son ouvrage Une histoire des notations mathématiques Citation originale : .
Une ambiguïté semble survenir dans l'utilisation de la barre oblique « / » au sein d'expressions comme 3/2x qu'on lira couramment 3/(2x). Il semble alors que la multiplication notée par la juxtaposition, aussi nommée multiplication implicite est interprétée comme ayant une priorité supérieure à la division, et donc 3/2x, pouvant être vu comme , devient égal alors à , et non à qui serait le cas si on appliquait la convention « de la gauche vers la droite ».
Mais, selon le standard international ISO 80000-2 édité en qui retranscrit les usages consensuels en mathématique, l'usage de ÷, nommé obélus, est tombé en désuétude et est remplacé par la fraction notée avec une barre oblique ou une barre horizontale, ce qui rend de fait la multiplication forcément implicite donc prioritaire et la règle de sens de lecture sans intérêt..
.
.
On choisira naturellement l'écriture (3/2)x ou 3x/2, qui ne présentent aucune ambiguïté, si cette expression est désirée.
Exponentiations successives
Si l'exponentiation est indiquée par un empilement de symboles en exposant, la règle usuelle est d'aller du haut vers le bas. :
ce qui typiquement n'est pas égal à (ab)c.
Toutefois, quand l'opérateur est noté par un caret (^) ou une flèche (↑), il n'y a pas de convention universelleExponentiation Associativity and Standard Math Notation Codeplea. 23 Aug 2016. Retrieved 20 September 2016.. Par exemple, Microsoft Excel et le langage de programmation MATLAB évaluent a^b^c comme (ab)c, mais Google (moteur de recherche) et WolframAlpha comme a(bc). Ainsi 4^3^2 est évalué à 4096 dans le premier cas et à 262144 dans le second.
Divisions successives
Une ambiguïté similaire se produit dans le cas de divisions successives. Par exemple, l'expression peut être interprétée comme
ou comme
Dans ce cas, la convention « opérations de gauche à droite » qui est la référence arithmétique résout l’ambiguïté en faveur de cette dernière expression. De même l'habitude mathématique de combiner les facteurs et de représenter la division comme une multiplication par l'inverse supprime aussi cette ambiguïté.
Arbre arithmétique
Un arbre d'expression arithmétique est un arbre dont les feuilles sont des nombres et dont les nœuds contiennent une opération arithmétique (somme, différence, produit, quotient, exponentiation,...).. Toute expression arithmétique bien formée peut se résumer en un arbre arithmétique. Au sommet de l'arbre se trouve le dernier calcul à effectuer, les noeuds de niveau inférieur sont les avant-derniers calculs à effectuer, ainsi de suite jusqu'à arriver aux feuilles. Il s'agit donc de lire les priorités à l'envers.
Ainsi, dans l'exemple précédent : , le dernier calcul à effectuer est une soustraction entre et . L'arbre de l'expression est alors la concaténation de l'arbre de et de l'arbre de . L'arbre se construit de propre en proche. Le calcul s'effectue ensuite en partant des feuilles et en remontant jusqu'à la racine.
La représentation en arbre peut favoriser une vision structurelle d'une expression algébrique, p.29 et mettre en évidence les priorités opératoires.
De l'écriture avec parenthèses à l'écriture sans parenthèse En mathématiques, les opérations de base, addition, soustraction, multiplication, division, exponentiation sont binaires, c'est-à-dire, qu'à deux éléments, on associe un troisième appelé résultat de l'opération. Dans une expression complexe, il est normalement nécessaire de retrouver ces associations par paires. Les parenthèses permettent de déterminer avec précision les paires concernées lorsque la priorité des opérations n'est pas appliquée. Ainsi une écriture sous la forme ne permet pas d'identifier les paires concernées et peut être l'écriture incomplète de avec et
Les parenthèses définissent un ordre de calcul consistant à calculer d'abord les parenthèses les plus intérieures.
Mais l'expression incomplète pourrait tout autant être celle de : (si on prenait comme convention l'ordre de lecture)
ou autres… Entre la présence complète de toutes les parenthèses et l'écriture ambiguë sans aucune parenthèse, il a fallu définir certaines règles.
Associativité
Les premières sont héritées des propriétés d'associativité des lois utilisées. C'est le cas de l'addition et de la multiplication.
Ainsi les calculs de
et
donnant le même résultat, on autorise la suppression des parenthèses, le calcul
pouvant s'effectuer dans l'ordre de son choix. Il en est de même de l'écriture qui s'effectue dans l'ordre de son choix.
Il n'en est pas de même pour des mélanges d'additions et de soustractions. Ainsi les calculs de
et de
ne donnent pas le même résultat. La convention, là, est de voir dans une soustraction l'addition de l'opposé. Une écriture comme est alors une abréviation autorisée de .
Une telle convention n'est pas aussi explicite pour des mélanges de divisions et de multiplications. Les calculs de
et de
ne donnent pas le même résultat. L'expression est parfois interprétée comme mais cette interprétation est loin d'être universelle. Ainsi certaines calculatricesLa TI-80 par exemple. continuent à effectuer le calcul de comme et celui de comme
L'écriture sous forme fractionnaire, présentant un délimitant fractionnaire, évite toute ambiguïté de ce genre et limite l'usage de la parenthèse : s'écrit alors , et l'écriture ,
Le cas de la puissance, à cause de sa disposition spatiale, pose un problème légèrement différent : le calcul de n'a pas même valeur que . La présence d'un délimitant spatial permet en partie de lever l'ambiguïté : l'expression
est une traduction sans parenthèses de la seconde expression. La première expression, elle, nécessite la présence des parenthèses ou bien un début de calcul
Niveau opératoire Il existe ensuite des niveaux opératoires qui précisent, en cas d'absence de parenthèses, les calculs à effectuer en premier : il s'agit de calculer d'abord les puissances, ensuite les produits et quotients et enfin les additions et les soustractions. Les parenthèses pouvant être remplacées par des indications de positions comme pour les fractions ou les exposants, ou des barres comme pour les racines.
Ainsi par convention l'écriture de départ,
ne présente plus aucune ambiguïté avec ces nouvelles conventions et ne peut valoir que le résultat de la somme suivante :
et une expression comme
ne peut se lire que sous la somme suivante
Lorsque le calcul à effectuer ne respecte pas cet ordre d'exécution, les parenthèses sont alors là pour indiquer les priorités non conventionnelles. Ainsi, l'expression
étant interprétée comme , le produit de deux sommes doit comporter les parenthèses
Mise en place historique des priorités thumb|upright|René Descartes, précurseur dans la notation symbolique.