vignette|upright=1.2|Robert Recorde est un précurseur pour l'écriture d'une équation. Il invente l'usage du signe pour désigner une égalitéCette équation provient du livre de Recorde , publié en 1557,p. 237 . Voir à ce sujet .. vignette|upright=1.2|Un système dynamique correspond à un type particulier d'équation, dont les solutions recherchées sont des fonctions. Le comportement limite est parfois complexe. Dans certains cas, il est caractérisé par une curieuse figure géométrique, appelée attracteur étrange.
Une équation est, en mathématiques, une relation (en général une égalité) contenant une ou plusieurs variables. Résoudre l'équation consiste à déterminer les valeurs que peut prendre la variable pour rendre l'égalité vraie. La variable est aussi appelée inconnue et les valeurs pour lesquelles l'égalité est vérifiée solutions. À la différence d'une identité, une équation est une égalité qui n'est pas nécessairement vraie pour toutes les valeurs possibles que peut prendre la variableCette définition s'inspire de .Une autre source propose une définition du même esprit : . « Equation », dans , et (éd.), Van Nostrand, 1968, éd. ( éd. 1948), ..
Les équations peuvent être de natures diverses, on les trouve dans des branches différentes des mathématiques ; les techniques associées à leur traitement diffèrent selon leur type.
L'algèbre étudie surtout deux familles d'équations : les équations polynomiales et parmi elles les équations linéaires. Les équations polynomiales sont de la forme , où est un polynôme. Des méthodes de transformation et de changement de variable permettent de venir à bout des plus simples. Les équations linéaires sont de la forme , où est une application linéaire et un vecteur. On utilise pour les résoudre des techniques algorithmiques ou géométriques, issues de l'algèbre linéaire ou de l'analyse. Modifier le domaine de définition de la variable peut changer considérablement la nature de l'équation. L'algèbre étudie également les équations diophantiennes, équations dont les coefficients et les solutions sont des entiers. Les techniques utilisées sont différentes et essentiellement issues de l'arithmétique. Ces équations sont en général difficiles, on cherche souvent uniquement à déterminer l'existence ou l'absence de solution et, si elles existent, leur nombre.
La géométrie utilise les équations pour décrire et caractériser des figures. L'objectif est encore différent des cas précédents, l'équation est utilisée pour mettre en évidence des propriétés géométriques. Il existe, dans ce contexte, deux grandes familles d'équations, les cartésiennes et les paramétriques.
L'analyse étudie des équations du type , où est une fonction ayant certaines propriétés comme la continuité, la dérivabilité ou encore le fait d'être contractante. Des techniques permettent de construire des suites convergeant vers une solution de l'équation. L'objectif est de pouvoir approcher la solution aussi précisément que possible.
Un système dynamique est défini par une équation dont les solutions sont, soit des suites, soit des fonctions d'une ou plusieurs variables. Il existe deux questions centrales : létat initial et le comportement asymptotique. Pour chaque état initial admissible, par exemple la valeur de la suite ou de la fonction en zéro, l'équation admet une unique solution. Parfois, une petite modification de l'état initial modifie peu la solution. Ce n'est pas toujours le cas, cette sensibilité à la condition initiale est l'objet de la première question. Le comportement limite ou encore asymptotique d'une solution correspond à la forme de la solution quand la variable tend vers l'infini, ce comportement est l'objet de la deuxième question. S'il ne diverge pas, il peut, soit tendre vers une valeur donnée, soit s'approcher d'un comportement cyclique (une fonction périodique ou une suite parcourant toujours un même ensemble fini de valeurs et dans le même ordre), soit avoir un comportement chaotique, semblant évoluer au gré du hasard, même si la solution est par définition déterministe.
Remarque : Le terme inéquation correspond à une définition différenteVoir, par exemple la définition proposée dans l'article « Inéquation » de l'encyclopédie en ligne Encarta.. Si dans certains cas particuliersC'est le cas par exemple, pour certaines équation étudiés dans l'enseignement pré-universitaire : Équations - Inéquations par L. Pecqueux, sur le site mathocollege.free. les sujets sont connexes, dans le cas général ils sont suffisamment éloignés pour mériter des traitements distincts. Les inéquations sont en conséquence traitées dans un article séparé.
Préambule Définitions : équation, inconnue et solution
+ L'exemple suivant est extrait , 1831 , . du livre d'Al-Khawarizmi, l'un des fondateurs de l'algèbre.. Si désigne l'inconnue, ici la fraction de l'héritage que reçoit un fils, la question se traduit par l'équation suivante, où la valeur à droite désigne héritage :
Dans l'exemple, la formulation sous forme d'équation, c'est-à-dire l'égalité , est équivalente à la question posée. Y répondre revient à déterminer l'unique valeur que doit prendre l'inconnue pour que l'égalité définissant l'équation soit vraie. Le maniement de l'inconnue permet de résoudre quelques équations, comme celle présentée ici. Cette vision est source d'une autre manière de définir une équation. Pour l'''Encyclopédie Soviétique de Mathématiques, une équation est la traduction, sous une forme analytique, d'un problème - An updated and annotated translation of the Soviet Mathematical Encyclopaedia, Reidel, 1988, vol. 3 , . L'article, non signé, précise être « basé sur l'article du même nom de la Grande Encyclopédie Soviétique. »On trouve encore une définition ou l'idée de question est sous-jacente dans l'article « équations » d'Encarta : . L'équation correspond à la question : pour quelle valeur de , l'équation se transforme-t-elle en égalité ? Cette définition décrit bien les premières équations étudiées, qui sont parfois la formulation mathématique d'une question de la vie courante.
Cette définition fondée sur une question n'est pas la plus générale : en géométrie, l'équation du cercle ne fait pas référence à une questionVoir par exemple : Équation cartésienne d'un cercle dans le plan, sur le site homeomath.. Cependant, la forme reste la même : une égalité entre deux expressions, utilisant deux variables généralement notées et .
Paramètre Au , Viète, un mathématicien français, trouve une méthode pour exprimer de manière générique une famille d'équationsJ. P. Guichard CultureMATH. François Viète ENS Ulm Paris (2007) (partiellement disponible sur Viète inventeur de l'algèbre nouvelle). Pour en comprendre l'intérêt, illustrons-le par une question.
+ Exemple d'équation paramétrée.upright=0.9|vignette|Le graphe de la fonction est la parabole illustrée en bleu sur la figure, celui de la droite illustrée en rouge, celui de en violet et celui de en vert. Quel est le nombre de solutions des équations réellesCet exemple s'inspire de F. Vandebrouck, Introduction de la notion de paramètre au lycée, IREM de Paris VII, 2008. suivantes ?
Pour trouver ce nombre, on considère la fonction , qui à associe , dont le graphe est la parabole représentée à droite en bleu. La fonction associe à la valeur (la droite rouge). Les solutions de l'équation sont les abscisses des intersections de la parabole avec la droite rouge, la représentation graphique montre l'existence de deux solutions, car il existe deux intersections. Pour l'équation , considérons la fonction qui à associe (la droite violette). Elle ne rencontre pas la parabole et l'équation n'admet pas de solution. Pour traiter le dernier cas, on considère la fonction qui à associe (la droite verte) ; c'est encore une droite parallèle à la précédente et cette fois-ci il existe une unique solution.
Une manière globale de résoudre ces trois questions est de faire appel à une lettre qui représente un nombre quelconque. Les trois équations précédentes correspondent à la suivante, si est égal à ou encore à :
L'équation ci-contre est dite « équation paramétrée » et la lettre désigne le « paramètre ». Son usage permet d'étudier les équations par familles.
Problèmes soulevés par une équation upright=1.1|vignette|Démontrer l'existence d'une solution au problème isopérimétrique, revient à montrer l'existence d'un sommet sur la figure. À chaque couple , on associe l'aire du triangle de périmètre , contenant un côté de longueur et un angle adjacent à ce côté égal à . Les mathématiciens de l'antiquité ne disposaient pas d'outils pour résoudre cette questionEn termes modernes, on remarque que la fonction est continue et définie sur un compact, ce qui montre l'existence d'un sommet (cf. l'article « Théorème isopérimétrique »)..
Les questions que soulève l'étude d'une équation dépendent de sa nature. À l'image de l'équation précédente, certaines sont définies à l'aide d'une fonction , c'est-à-dire de l'ensemble des nombres réels dans lui-même. L'équation s'écrit (plus généralement, une équation de la forme sera ramenée à la forme en posant ). On commence parfois l'étude par établir l'existence ou non de solution à l'équation. Le nombre de solutions est donné par l'étude de la fonction , ce cas est étudié dans le paragraphe sur les zéros d'une fonction.
Parfois, il est plus simple de commencer par étudier les propriétés de la ou des éventuelles solutions, sans se préoccuper initialement de leur existence. C'est le cas pour le problème isopérimétrique du triangle. La question revient à trouver le triangle de périmètre donné (on prend ici la valeur ) de plus grande aire possible. Si désigne l'inconnue, ici un triangle de périmètre , la fonction qui à un triangle associe son aire et la borne supérieure des surfaces des triangles de périmètre , la traduction sous forme d'équation du problème s'écrit :
Dès l'antiquité, les mathématiciens savent que l'unique réponse possible est le triangle équilatéralCe résultat est attribué à Zénodore au : Paul J. Nahin, When Least Is Best: How Mathematicians Discovered Many Clever Ways to Make Things as Small (or as Large) as Possible, Princeton University Press, 2007 , .. En revanche, établir l'existence d'une solution est plus technique et fait appel à des outils inconnus jusqu'au Le raisonnement de l'époque consistait à montrer que toute solution est nécessairement un triangle dont deux côtés adjacents sont de longueurs égales. Ce résultat montre l'unicité d'une éventuelle solution, mais pas son existence. François Dress indique : F. Dress , « Quelques grands problèmes en mathématiques », Bulletin de la Société mathématique de France, vol. 115, 1987, .. L'existence d'une solution est intimement liée à l'ensemble dans lequel on recherche cette solution. Si, dans l'exemple choisi, cet ensemble est étendu à celui des polygones de périmètre , l'équation n'admet plus de solution. Pour établir ce résultat, on démontre dans un premier temps qu'une éventuelle solution serait nécessairement un polygone régulierUne démonstration se trouve dans l'article « Isopérimétrie ».. Or plus le nombre de côtés d'un polygone régulier de périmètre donné augmente, plus son aire croît ; ce qui montre l'absence de solution, car aucun polygone régulier n'est d'aire maximale.
La forme d'une solution dépend des besoins. L'équation définissant le nombre d'or est : . Pour un architecte, la forme la plus pragmatique est une approximation décimale comme . En revanche, si l'objectif est d'établir la formule reliant la suite de Fibonacci avec :