En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, le dernier théorème de Fermat, ou depuis sa démonstration théorème de Fermat-Wiles, ou grand théorème de Fermat, s'énonce comme suit :
Énoncé par Pierre de Fermat d'une manière similaire dans une note marginale de son exemplaire d'un livre de Diophante, il a cependant attendu plus de trois siècles une preuve publiée et validée, établie par le mathématicien britannique Andrew Wiles en 1994. C'est surtout par les idées qu'il a fallu mettre en œuvre pour le démontrer, par les outils qui ont été mis en place pour ce faire, qu'il a pris une valeur considérable.
Contexte Dans le cas où , l'équation correspond à l'addition usuelle et a donc une infinité de solutions.
Dans le cas où cette équation a encore une infinité de solutions en nombres entiers positifs non nuls, les triplets pythagoriciens, dont le plus petit est (3, 4, 5) : 3 + 4 = 5.
Le théorème de Fermat-Wiles établit que pour , cette équation n'a pas de solution en entiers positifs non nuls (les autres solutions, de la forme , sont souvent appelées solutions triviales).
Si l'équation n'a pas de solution (en entiers positifs non nuls) pour un exposant donné, elle n'en a pour aucun des multiples de (puisque ) et donc il suffit, pour démontrer le théorème général, de le démontrer pour premier impair et pour .
Si l'équation n'a pas de solutions en entiers positifs non nuls, elle n'en a pas non plus en entiers relatifs non nuls, ni en rationnels non nuls ce qui conduit Andrew Wiles à énoncer le théorème sous la forme suivante: Si où , et sont des rationnels et un nombre premier supérieur ou égal à 3 alors .
Historique Énoncé de Fermat vignette|droite|redresse|Page 61 de la réédition de 1670 par le fils de Pierre de Fermat du Diophante de Bachet, augmenté des annotations de son père. L'énoncé du théorème (en latin) apparaît sous le titre « OBSERVATIO DOMINI PETRI DE FERMAT », à la suite de la question VIII.
vignette|droite|redresse|La page de l'édition gréco-latine de 1621 des Arithmétiques traduite et commentée par Bachet de Méziriac, la question VIII traite des triplets pythagoriciens. C'est sur un exemplaire similaire – non retrouvé – que Fermat a écrit sa note. Le théorème doit son nom à Pierre de Fermat, qui l'énonce en marge d'une traductionTraduction du grec en latin par Claude-Gaspard Bachet de Méziriac, publiée en 1621. (du grec au latin) des Arithmétiques de Diophante, en regard d'un problème ayant trait aux triplets pythagoriciens : Texte latin original (selon Samuel Fermat) de l'observation II de Pierre de Fermat : , voir également l'avertissement , traduction ..
On ignore la destination de ces notes marginales., qui paraissent cependant avoir été réservées au seul usage du mathématicien., même si on peut trouver qu'elles sont écrites « dans un style qui suppose la présence d’un lecteur »..
Elles nous sont parvenues par une transcription réalisée par son fils Samuel, qui a publié une réédition du Diophante de Bachet augmentée des annotations de son père 5 ans après la mort de celui-ciL'édition de Samuel Fermat reproduit les annotations en italique, à l'endroit où elles apparaissaient dans le texte : (Avertissement).. On n'a pas d'autre description de l'exemplaire portant les annotations de Fermat, qui a été perdu très tôt, peut-être détruit par son fils pour cette édition.
Cette note est le seul témoignage dont on dispose de la part de Fermat sur cet énoncé dans le cas général. A fortiori aucune démonstration ou tentative de démonstration n'a été retrouvée. En revanche, Fermat évoque à plusieurs reprises le cas des cubes et des puissances quatrièmes, et on possède des preuves de lui et de contemporains sur le cas des puissances quatrièmes.
Le nom du théorème Les résultats de Fermat (presque toujours annoncés sous forme de problèmes, et sans démonstration) n'ont en général pas reçu de nomOn trouve cependant depuis le des dénominations telles que théorème des deux carrés de Fermat ou théorème de Fermat sur les triangles rectangles., à l'exception de son petit théorème, appelé simplement « théorème de Fermat » par Carl Friedrich Gauss, n° 50. ; le résultat énoncé dans la note marginale, découvert après la mort de son auteur, fut logiquement appelé alors « dernier théorème de Fermat »..., nom qui devint également le sien dans la plupart des langues étrangères : en anglais, en danois, et dans les langues romanes, mais aussi en japonais et en coréen, en arabe, en hébreu et en turc. Au début du , la dénomination de « petit théorème de Fermat » devint fréquenteHensel donne sous ce nom l'énoncé généralisé à un groupe fini commutatif, Kurt Hensel, , Göschen, Berlin/Leipzig, 1913 numérisé sur le projet Gutenberg, § V.6, p 128 de la version du projet Gutenberg., et le « dernier théorème de Fermat » (entre-temps souvent énoncé sous le nom de « conjecture de Fermat »Conjecture de Fermat, sur l’encyclopédie Larousse.) prit alternativement, par contraste, le nom de « grand théorème de Fermat ».., par exemple en allemand ou en chinois. Enfin, depuis sa démonstration par Wiles, on rencontre de plus en plus fréquemment la dénomination de « théorème de Fermat-Wiles »J.-B. Hiriart-Urruty, « Sur le caractère spectaculaire du théorème de Fermat-Wiles », Bulletin de l'APMEP, , 2000, .., ou parfois même simplement « théorème de Fermat »Pierre Colmez, Éléments d'analyse et d'algèbre (et de théorie des nombres), Éditions de l'École polytechnique, éd., 2011, ..
Premières approches
En 1670, le fils de Fermat réédite les Arithmétiques, contenant entre autres le « théorème de Fermat sur les triangles rectangles », qui résout le cas . Il ne reste alors qu'à démontrer le théorème pour un exposant premier impair, cas dans lequel le théorème peut s'énoncer sous cette forme symétrique : pour tout nombre premier impair, l'équation n'a pas de solution en entiers relatifs , , non nuls.. En 1753, Euler transforme l'équation en . L'étude des propriétés des nombres de la forme sera omise de sa preuve. En 1816, l'Académie des sciences de Paris offre une médaille d'or et un prix de à celui qui résoudrait la question. En 1825, Dirichlet et Legendre prouvent le cas . Simultanément, Legendre expose un sous-produit de l'attaque globale (vouée à l'échec) tentée par Germain : le « théorème de Sophie Germain », qui permet entre autres de démontrer le premier cas du théorème de Fermat (celui où les valeurs des variables sous l'exposant premier sont toutes trois non divisibles par ) pour les exposants premiers inférieurs à 100. La démonstration par Legendre du théorème de Germain occupe, dans la réimpression (à une modification près de la dernière page) de 1827 (Mémoires de l'Académie royale des sciences, t. 6, 1823 [sic], p. 1-60), les sections 13 p. 9 et 21 et 22 p. 14-17, au terme desquelles il attribue dans une brève note cette démonstration et, moins explicitement, la table des strictement inférieurs à 100 à Germain.. En 1832, Dirichlet prouve le cas . En 1839, LaméG. Lamé, « Mémoire d'analyse indéterminée, Démontrant que l'équation x7 + y7 = z7 est impossible en nombres entiers », Journal de mathématiques pures et appliquées 1re série, t. 5 (1840), p. 195-210, consultable sur mathdoc. prouve le cas . En 1977, H. M. Edwards. a exprimé des doutes sur la validité de la démonstration de Lamé, mais selon C. Goldstein, cette démonstration est correcte. Contrairement aux démonstrations qui avaient été données pour les exposants 3 et 5, elle ne fait intervenir que les propriétés élémentaires de divisibilité dans l'anneau des entiers relatifsCatherine Goldstein, « Gabriel Lamé et la théorie des nombres : 'une passion malheureuse' ? », Bulletin de la SABIX, vol. 44 (2009), p. 131-139, en ligne.. En 1847, Lamé et Cauchy proposent chacun de leur côté une démonstration du grand théorème, qu’ils présentent d’ailleurs comme incomplète, mais tous deux s’étaient engagés dans une voie sans issue. En 1850, le prix de l'Académie est renouvelé. À partir de 1847, Ernst Kummer franchit un pas décisif en démontrant le dernier théorème de Fermat pour tout exposant inférieur à 100. À cette fin, il introduit l'étude systématique des corps cyclotomiques, qui le conduit à introduire les nombres idéaux. Il en déduit que ce dernier théorème tombe dans le cas de nombres premiers réguliers (cette première étape est obtenue en 1847 ; le cas des trois nombres irréguliers inférieurs à 100, c'est-à-dire 37, 59 et 67, sera résolu en 1857). Ces études renouvellent également l'intérêt pour les nombres de Bernoulli.
Ainsi, apparaît le réel intérêt de ce théorème négatif : c'est un moteur puissant qui va obliger pour le résoudre à étudier les structures algébriques d'objets dont on aurait eu peine à imaginer l'existence au temps de Fermat. L'idée s'affirme alors que ce dernier théorème, loin d'être une fin en soi, n'est qu'un début pour l'étude de questions bien plus profondes et qui sont au cœur de l'invention mathématique contemporaine.
En 1856, Johann August Grunert publie des résultats élémentaires sur la taille des solutions éventuelles. En 1894, Ernst Wendt donne un critère pour appliquer les théorèmes de Sophie Germain et leur généralisation. Ces études se prolongeront en 1935 avec Emma Lehmer, et en 1959, avec Leonard Carlitz. En 1908, l'université de Göttingen et la fondation Wolfskehl offrent un prix de à qui trouverait la démonstration avant cent ans. Le prix a été alloué le à Andrew Wiles qui récolta la somme de 50 000 $Ny Times 1997 le prix Wolfskehl En 1909, Arthur Wieferich montre que le premier cas (celui où le produit n’est pas divisible par ) est vérifié si p ne divise pas 2 – 1.. En 1931, Massoutié. et Pomey. donnent des conditions de divisibilité sur d'éventuelles solutions. Paulo Ribenboim. considère ces résultats comme marginaux et en dit autant de certains résultats, très différents, de Swistak (1969.), de M. Mihaljinec (1952) et de Rameswar Rao (1969). En 1952, Harry Vandiver utilise un ordinateur SWAC pour le démontrer pour tous les exposants inférieurs à 2000.. Les progrès fulgurants des trente années précédant la démonstration de Wiles sont liés à des travaux de Jean-Pierre Serre, d'Yves Hellegouarch et de Robert Langlands The Work of Robert Langlands, sur le site de l'IAS sur la représentation des courbes elliptiques par les fonctions modulaires.
On peut également interpréter ce théorème géométriquement en considérant les courbes d'équation : . Si , le théorème affirme que ces courbes ne passent par aucun point à coordonnées rationnelles non nulles. Bien que cette approche ait échoué à démontrer la conjecture, le théorème de Faltings prouve du moins que ces courbes n'admettent qu'un nombre fini de points rationnels.
Fermat l'avait-il démontré ? L'énoncé de Fermat n'a été connu que cinq ans après sa mort, grâce à la publication par son fils des notes en marge de son exemplaire des Arithmétiques de Diophante, et on ne trouve pas d'autre mention du cas général dans ses travaux. Par ailleurs, les démonstrations partielles données au cours des siècles qui ont suivi ont nécessité des outils mathématiques qui n'existaient pas au temps de Fermat. La quasi-totalité des mathématiciens estiment donc aujourd'hui que Fermat avait seulement cru démontrer le résultat général, mais qu'il s'était trompé Underwood Dudley, Mathematical Cranks, p. 118.. Avant les travaux de Wiles, peu de professionnels tentaient encore de s'attaquer directement à ce théorème. Malgré cela, de nombreux amateurs optimistes étaient et sont encore persuadés d'avoir découvert une preuve très simple (pas nécessairement celle de Fermat) ; leurs erreurs sont le plus souvent d'un niveau très élémentaire.