En mathématiques, la notion d’algèbre géométrique correspond à une expression forgée au pour désigner un ensemble de méthodes et raisonnements géométriques développés par les Grecs de l'Antiquité, prétenduement pour établir des résultats maintenant classés dans la branche mathématique appelée algèbre. Ces techniques permettent la mise en évidence des propriétés élémentaires de la multiplication, d’effectuer des calculs comme la somme des premiers nombres entiers, ou impairs. Elles permettent d’établir des résultats comme des identités remarquables ou de résoudre une équation du second degré. L’algèbre géométrique fournit aussi des méthodes de résolution plus complexes, comme celles qui montrent l’existence de nombres irrationnels.

Si l'expression d'« algèbre géométrique » a fait l'objet de vifs débats historiographiques au cours du Voir S. Unguru, « On the need to rewrite the history of Greek mathematics », Arch. Hist. Exact Sci., vol. 15, 1975, ., cette présentation est toujours utilisée dans l’enseignement, soit pour donner des preuves simples de certains résultats, soit pour développer une conscience intuitive de résultats qu'une présentation algébrique rendrait plus abstraits.

Le terme « algèbre géométrique » provient de l'ouvrage Histoire des mathématiques dans l'Antiquité et le Moyen Âge écrit en 1893 par le mathématicien danois Hieronymus Georg Zeuthen, et traduit en français en 1902 par Jean Mascart avec des commentaires de l'historien Paul Tannery. Il est popularisé l'année suivante par les frères Tannery, qui consacrent un chapitre sur l'« algèbre géométrique » dans les Notions de mathématiques du mathématicien Jules Tannery. L'idée qu'en retiennent la plupart des commentateurs consiste à rapprocher les propositions 1 à 10 du livre II des Éléments d'Euclide d'une méthode algébrique pour déterminer les solutions positives d'une équation quadratique. Cette lecture diachronique des sources a par la suite fait l'objet de nombreuses discussions et controverses sur la signification de cette expression, en associant parfois hâtivement —surtout, mais pas seulement, dans la littérature francophone— le nom de Paul Tannery à ces développements.

L'expression « algèbre géométrique » est aussi utilisée en mathématiques pures, elle correspond alors à un concept moins élémentaire. Elle désigne une branche contemporaine des mathématiques consistant à associer une géométrie à une structure d'algèbre. Cet aspect est traité dans l'article Algèbre géométrique (structure). Les termes géométrie algébrique désignent une branche différente des mathématiques, constituée d'un savoir essentiellement acquis aux et toujours d'actualité en recherche mathématique.

Propriétés de la multiplication

Nombre entier positif

vignette|redresse|gauche|4 × 3 = 3 × 4 On peut remarquer que 4 × 3 est égal à 3 × 4 et, de manière plus générale .

Pour se persuader de l’exactitude de ce résultat, on peut considérer des petits carrés, tous de même dimension, assemblés en rangées de 3. En accolant verticalement 4 rangées de 3, on obtient un rectangle de base 4 côtés de petits carrés et de hauteur 3. Ce rectangle, illustré sur la figure de gauche, contient 4 × 3 = 12 petits carrés. Appliquer un quart de tour au rectangle ne modifie pas le nombre de petits carrés le composant, ce qui montre que le résultat de 4 × 3 correspond au nombre de petits carrés composant le rectangle associé à l’opération 3 × 4. Ce résultat ne dépend pas des valeurs 3 et 4, on peut choisir deux nombres entiers quelconques que l’on peut noter a et b. L’égalité qui s’écrit de la manière suivante traduit ce que l’on appelle la commutativité de la multiplication : .

vignette|droite|La multiplication est distributive par rapport à l'addition. La commutativité de la multiplication n’est pas l’unique propriété s’illustrant à l’aide de la géométrie. La figure de droite peut se lire de deux manières différentes. Tout d’abord, le grand rectangle est la somme des aires des rectangles bleus et rouges. Le raisonnement précédent montre que son aire est égale à .On peut le voir aussi comme un unique rectangle, s'il l'on ne tient pas compte des couleurs, d’aire égale à .Ces deux écritures correspondent donc au même nombre. Une fois encore, le résultat est vrai non seulement pour les nombres 9, 3 et 4, mais aussi pour n’importe quel ensemble de trois nombres, que l’on peut noter a, b et c. On obtient le résultat suivant, appelé distributivité de la multiplication par rapport à l’addition. .

Ainsi, l'usage de la géométrie et plus spécifiquement le calcul des aires permet d'établir certaines propriétés de la multiplication. Ce principe est la base de l'algèbre géométrique , ..

Fraction

Pour faire de la géométrie, les nombres entiers ne suffisent pas toujours. Une longueur peut être égale à la moitié d'une autre. Les Grecs ont donc été amenés à établir les règles opératoires régissant les fractionsUne véritable lecture des textes mathématiques d'avant Euclide n'est pas aussi simple. Pour les Grecs, les nombres sont toujours des entiers. L'équivalent chez eux de nos nombres rationnels correspondent chez eux à ce qu'ils appellent un logo, qui n'est pas un nombre mais une proportion.. Une fois encore le calcul des aires est utile. Pour illustrer cette approche, cherchons à additionner 1/6 et 4/9. Considérons pour cela un rectangle dont l’aire est égale à 1. On choisit deux quadrillages qui décomposent le rectangle en petits rectangles identiques. On choisit ces quadrillages compatibles, c'est-à-dire que la superposition des quadrillages est encore un quadrillage en petits rectangles tous identiques, comme l’illustre la figure ci-dessous :

La première représentation du rectangle montre que la fraction 1/6 est représentée par un quadrillage découpant le rectangle en 6 petits rectangles, la superposition des quadrillages en crée 18 et 1/6 = 3/18. On obtient finalement les égalités : .

D'une manière générale, si a, b, c, et d sont des nombres entiers tels que ni b ni d ne sont nuls, alors : .

L’article détaillé montre comment la démarche permet de déterminer toutes les règles opératoires des fractions.

Arithmétique géométrique vignette|Un changement d'échelle permet d'obtenir des longueurs entières. À l’aube des mathématiques grecques et jusqu’au mathématicien Pythagore, l’on pensait que toutes les longueurs pouvaient s’exprimer par ce que l’on appelle maintenant des fractions, ce que Tannery exprime de la manière suivante : . Ces mathématiciens en conclurent que, pour étudier une figure géométrique, l'on pouvait toujours choisir une longueur unité telle que tous les segments représentés sur la figure aient des longueurs qui s’expriment comme des nombres entiers. La figure de droite illustre cette situation. Elle représente deux segments de longueur 4/3 et 3/2, si l'unité choisie est indiquée par la graduation bleue. L'unité de la graduation rouge est de longueur le sixième de la bleue, avec la graduation rouge, les longueurs sont entières et égales à 8 et 9.

Cette remarque et certaines figures géométriques permettent d’établir des résultats sur les nombres entiers, résultats qui entrent dans la branche mathématique appelée arithmétique. Zeuthen considère ces techniques comme de l’arithmétique géométrique. Il estime que c'est une branche de l’algèbre géométrique car les démarches sont analoguesPlus précisément, Zeuthen considère que l’arithmétique géométrique est une introduction à l’algèbre géométrique : .Zeuthen n’est pas l’unique historien des sciences à considérer que l’arithmétique géométrique est une branche de l’algèbre géométrique : (traduit de ; version française : ; à ne pas confondre avec ).D’autres historiens utilisent le terme d’arithmo-géométrie pour désigner cette technique mathématique : Jean Itard, Les livres arithmétiques d'Euclide, Hermann, 1961, ..

Pour faire de l'arithmétique géométrique les représentations sont de même nature que celle du paragraphe Nombre entier, mais il est possible de les simplifier. Les Grecs avaient remarqué que tracer les rectangles était inutile. Les pastilles à l’intérieur des carrés, qui étaient alors des galets, suffisaient. La méthode consiste à représenter un nombre à l'aide d'un assemblage de pastilles selon une figure géométrique. L'association du nombre et de la figure est appelée un nombre figuré. Celle utilisée au paragraphe précédent pour représenter 12 est appelée nombre rectangle. Il existe plusieurs figures cataloguéesCharles-E. Jean, « nombre figuré », sur récréomath..

vignette|Les nombres figurés permettent le calcul d'une somme algébrique. Somme des premiers nombres

En accolant deux triangles égaux comme sur la figure ci-contre, on obtient un rectangle dont la longueur est d'une unité supérieure à sa largeur (son aire est appelée un nombre oblong). L'article détaillé montre qu'on en déduit la formule suivanteC'est le premier exemple d'arithmétique géométrique de . :

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Nombre carré

vignette|gauche|Les carrés peuvent se calculer à l'aide des nombres figurés. Un nombre carré est un nombre égal à un certain entier multiplié par lui-même. Par exemple, 9 est un nombre carré car 3 × 3 = 9. Il se présente de manière figurée comme un carré. Pour établir la liste des premiers carrés, l’arithmétique géométrique peut être utile. On suppose, par exemple, connue la liste jusqu’à 7 × 7 = 49. Pour trouver la valeur du carré suivant, de côté 8, on raisonne à l’aide de la figure de gauche. Le nombre 8 × 8 peut être vu comme la somme de 7 × 7 correspondant aux billes rouges, de 7 correspondant aux billes vertes et 8 correspondant aux billes bleues. De manière générale, on dispose de l’égalitéCette présentation s’inspire de : Claudie Asselin-Missenard et André Deledicq, « Les carrés de 1 à 25 », Jeu tests & quiz mathématiques, Les éditions du Kangourou, 2010, . : . vignette|Les Grecs démontraient géométriquement que le carré d'un nombre impair est impair. Établir la liste des premiers nombres carrés est un vieil exercice, déjà réalisé par les mésopotamiens. À cette époque, la numération était en base 60. Réaliser des multiplications comme nous le faisons maintenant aurait supposé d’apprendre les tables de multiplication jusqu’à 60, exercice de mémorisation difficile et que l’on n'imposait pas aux écoliers mésopotamiensPour plus de détails, voir : Christine Proust, « Le calcul sexagésimal en Mésopotamie », .. Les tables de carrés, qui existaient alors, étaient bien utiles. Par exemple, la multiplication de 15 par 29 donneCette présentation s’inspire de : Claudie Asselin-Missenard et André Deledicq, « Les carrés de Babylone », Jeu tests & quiz mathématiques, Les éditions du Kangourou, 2010, . : .

Les Grecs héritèrent du savoir mésopotamien et ajoutèrent leur propre interprétation qui leur permit de trouver d’autres résultats. Ils avaient remarqué que, si le côté d'un nombre carré est pair, le nombre carré l'est aussi, car il se décompose en la somme de deux nombres rectangles égaux dont la base est égale à deux fois la hauteur. La logique géométrique permet de comprendre que si le côté est de longueur impair, l’aire l’est aussi. La figure de droite l’illustre sur l’exemple 15 × 15. La représentation du nombre carré montre qu’il est somme d’un carré, en rouge sur la figure, qui est pair (il est composé d’autant de pastilles claires que foncées), d’un nombre pair (les pastilles bleues, qui sont graphiquement divisées en deux parties égales) et d’une pastille verte, isolée. Ainsi 15 × 15 est la somme d’un nombre pair (les pastilles rouges et les bleues) et de 1, ce qui est un nombre impairDe manière plus générale, les Pythagoriciens de -480 connaissaient probablement la « théorie du pair et de l'impair » et savaient déduire la parité d'un produit, connaissant la parité des facteurs : ..

Triplet pythagoricien

vignette|gauche|Certains nombres carrés permettent de construire des triplets pythagoriciens.