En mathématiques, la fonction logarithme intégral est une fonction spéciale définie pour tout nombre réel strictement positif par l'intégrale :
où désigne le logarithme népérien.
La fonction n'est pas définie en , et l'intégrale pour doit être interprétée comme la valeur principale de Cauchy :
Équivalent à l'infini
Quand tend vers , on a l'équivalence
c'est-à-dire que
D'après le théorème des nombres premiers, la fonction de compte des nombres premiers est équivalente à , donc à , qui en fournit par ailleurs une meilleure approximation.
Propriétés La fonction est liée à l'exponentielle intégrale par la relation pour tout nombre réel strictement positif . Ceci mène aux développements en séries de , comme :
où est la constante d'Euler-Mascheroni.
On en déduit le développement au voisinage de 1 du logarithme intégral : .
La fonction a une seule racine, elle se trouve en ; ce nombre est connu comme étant la constante de Ramanujan-Soldner.
Fonction d'écart logarithmique intégral La fonction d'écart logarithmique intégral est une fonction spéciale très similaire à la fonction logarithme intégral, définie de la façon suivante :
Une valeur approchée de est 1,045 163 8Johann Georg von Soldner, Théorie et tables d'une nouvelle fonction transcendante, 1809, p. 48.Pour plus de décimales, voir par exemple ou la ., alors que = 0.
On peut montrer à l'aide d'intégrations par parties successives que, pour tout entier , on a le développement asymptotique suivant à l'infini de (donc aussi de ) :
Pour n = 0, on retrouve l'équivalent ci-dessus.
Signification en théorie des nombres
Comme dit dans la section « Équivalent », le théorème des nombres premiers établit que:
où exprime la quantité de nombres premiers inférieurs à .
Avec l'hypothèse de Riemann, l'estimation suivante plus forte est possibleAbramowitz and Stegun, p. 230, 5.1.20 :
Pour des petits , , mais on sait, indépendamment de l'hypothèse de Riemann, que cette différence change de signe un nombre infini de fois quand augmente. La première occurrence devrait survenir (). au voisinage de .
Notes et références
Voir aussi Articles connexes Cosinus intégral Sinus intégral Intégrale non élémentaire Constante de Ramanujan-Soldner Théorème des nombres premiers Nombre de Skewes
Bibliographie .
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