Point col

En mathématiques, un point col ou point-selle () d'une fonction définie sur un produit cartésien de deux ensembles et est un point tel que : atteint un maximum en sur ; et atteint un minimum en sur . Certains auteurs inversent les maximum et minimum ( a un minimum en et a un maximum en ), mais cela ne modifie pas qualitativement les résultats (on peut revenir au cas présent par un changement de variables).

Le terme point-selle fait référence à la forme de selle de cheval que prend le graphe de la fonction lorsque et sont des intervalles de . Le terme de point col, renvoie, quant à lui, à l'image du col de montagne. Dans (au moins) une direction, le point-col est un point de maximum (pour passer d'une vallée à l'autre) et dans (au moins) une autre direction, c'est un point de minimum (pour passer d'une montagne à l'autre).

La notion de point col ou point-selle intervient : en optimisation, comme concept permettant d'énoncer des conditions assurant l'existence de solution primale-duale ; en théorie des jeux ; pour déterminer des solutions particulières de certaines équations qui ne sont pas des minima ou des maxima de fonctionnelle d'énergie ; en théorie analytique des nombres, pour obtenir des estimations uniformes de certaines fonctions de comptage d'entiers.

Définition

Voici une définition assez générale de la notion de point-selle d'une fonction définie sur un produit cartésien d'ensembles. Aucune structure n'est requise sur ces ensembles. La fonction doit par contre prendre ses valeurs dans l'ensemble des réels (ou plus généralement dans la droite réelle achevée ).

Autrement dit, atteint un maximum en sur et atteint un minimum en sur . Rien n'est requis en dehors de la croix , si bien que l'image de la selle ou du col peut être trompeuse comme lorsque est définie par (tous les points de l'axe des ordonnées sont des points-selles).

On pourra souvent se ramener à la définition précédente par un changement de variable. Par exemple, le point n'est pas un point-selle de la fonction , au sens de la définition ci-dessus, mais le devient localement après le changement de variable et .

Résultat d'existence

Le résultat d'existence de point-selle ci-dessousVoir Maurice Sion (1958) et le théorème 1.1 chez Brezis (1973). rappelle celui de Weierstrass sur l'existence d'un minimiseur de fonction, mais requiert une hypothèse de convexité-concavité de . Sans cette dernière hypothèse, pas de point-selle garanti comme le montre l'exemple de la fonction

Ce résultat généralise l'identité de von Neumann qui traite du cas où est bilinéaire et les ensembles et sont des simplexes de dimension finie.

Propriétés

Le résultat suivant est fondamental dans la théorie de la dualité en optimisation, dans laquelle on définit un problème primal par

et le problème dual associé par

On dit alors qu'il n'y a pas de saut de dualité si

l'inégalité dite de dualité faible étant toujours garantie.

L'ensemble des points-selles d'une fonction a une structure très particulière, comme le montre le résultat suivant : c'est un produit cartésien. On y a noté l'ensemble des solutions du problème primal et l'ensemble des solutions du problème dual .

Point-selle en calcul différentiel

Utilisation de la hessienne

Pour déterminer si un point critique d'une fonction de classe de variables à valeurs réelles est un point-selle on calcule la matrice hessienne en ce point. Si la forme quadratique définie par la hessienne est non dégénérée et de type avec (ce qui, pour , revient à dire que le déterminant de la matrice hessienne est strictement négatif), on a un point-selle après changement et regroupement des variables (selon le lemme de Morse).

Par exemple, le gradient et la hessienne de la fonction s'écrivent

Le gradient est donc nul en (c'est un point critique) et la hessienne a une valeur propre strictement positive (2) et une valeur propre strictement négative (-2). Par conséquent, est un point-selle.

Ce critère ne donne pas de condition nécessaire : pour la fonction , le point est un point-selle mais la hessienne en ce point est la matrice nulle. Donc la hessienne n'a pas de valeur propre strictement positive et négative.

Annexes Note

Point col

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