vignette|Diagramme sagittal d'une relation antisymétrique (mais ni réflexive, ni transitive) En mathématiques, une relation (binaire, interne) sur un ensemble est dite antisymétrique si elle vérifie :
ce qui signifie que l'intersection de son graphe avec celui de sa relation réciproque est incluse dans la diagonale de , autrement dit :
.
La condition (1) peut aussi s'écrire
On remarque l'antisymétrie d'une relation sur son diagramme sagittal par le fait qu'il n'y a pas de double flèche (donc que des sens uniques).
L'antisymétrie est parfois appelée « antisymétrie faible », par opposition à l'« antisymétrie forte » qu'est l'asymétrie (une relation asymétrique est une relation antisymétrique et antiréflexive).
Exemples
Les relations d'ordre, qui sont les préordres antisymétriques. Sont antisymétriques sans être des relations d'ordre : La relation vide La relation définie par dans les entiers (lien verbal : "être le successeur de") la relation de lien verbal "être l'enfant de ". La relation sur les entiers naturels " être un diviseur premier de". Une relation est à la fois symétrique et antisymétrique si et seulement si son graphe est inclus dans la diagonale (le graphe de l'égalité).
Dénombrements Le nombre de relations antisymétriques dans un ensemble à éléments est égal à , voir la .
Il y a deux possibilités pour n les couples : soit appartenir au graphe soit ne pas y appartenir.
Pour les paires , il y a trois possibilités : soit seul appartient au graphe, soit seul , soit aucun des deux (ils ne peuvent y appartenir tous les deux). Le nombre de relations antisymétriques et réflexives est , voir la .
Propriété L'intersection de deux relations antisymétriques et dans un ensemble est également antisymétrique.
Démonstration :
On doit montrer : , où et .
Preuve directe :
Considérons un couple de E x E tel que : . Il vient de que et de que . Par antisymétrie de , on obtient : .
Catégorie:Relation binaire