En mathématiques, le théorème d'uniformisation de Riemann est un résultat de base dans la théorie des surfaces de Riemann, c'est-à-dire des variétés complexes de dimension 1. Il assure que toute surface de Riemann simplement connexe peut être mise en correspondance biholomorphe avec l'une des trois surfaces suivantes : le plan complexe , le disque unité de ce plan, ou la sphère de Riemann, c'est-à-dire la droite projective complexe . Le théorème de l'application conforme de Riemann en est un cas particulier, dans le cas des ouverts de .
Puisque toute surface de Riemann a un revêtement universel simplement connexe, le théorème d'uniformisation de Riemann permet de classer les surfaces de Riemann en trois types : celles dont le revêtement universel est la sphère (dites "elliptiques"), celles dont c'est le plan ("euclidiennes"), et celles dont c'est le disque unité ("hyperboliques").
Histoire Félix Klein et Henri Poincaré conjecturent le résultat pour les courbes algébriques. Henri Poincaré étend ensuite cette conjecture à des fonctions analytiques multivaluées quelconques, et en donne des justifications informelles. La première preuve complète du théorème est due à Poincaré et Paul Koebe. Ce dernier en trouvera plus tard plusieurs autres preuves et généralisations. L'histoire de ce théorème a été décrite par Gray, et un récit avec des preuves complète est donné par Henri Paul de Saint-Gervais.
Classification des surfaces de Riemann Toute surface de Riemann est le quotient d'une surface de Riemann simplement connexe par un groupe discret de biholomorphismes agissant proprement et librement. Le théorème d'uniformisation permet donc de classer les surfaces de Riemann en trois types : celles dont le revêtement universel est la sphère ; elles sont dites elliptiques. Il n'y a en fait qu'une seule telle surface, la sphère elle-même. celles dont le revêtement universel est le plan ; elles sont dites euclidiennes. Une telle surface est biholomorphe au plan , au cylindre , ou à une courbe elliptique où est un réseau. celles dont le revêtement universel est le disque unité ; elles sont dites hyperboliques. C'est la classe la plus riche de surfaces de Riemann, qui contient par exemple les surfaces de Riemann compactes de genre plus grand ou égal à 2. Une classification similaire existe pour les variétés riemanniennes de dimension 2 et montre que toute telle surface admet une métrique de courbure sectionnelle constante. Notes et références
Liens externes
Bibliographie
Articles connexes Théorème d'uniformisation Transformation conforme Groupe fushien
Catégorie:Surface de Riemann Uniformisation Catégorie:Bernhard Riemann Catégorie:Géométrie conforme