En mathématiques, et plus précisément en algèbre, la théorie des corps de nombres — les extensions finies du corps ℚ des rationnels, — fait apparaître un groupe abélien fini construit à partir de chacun de ces corps : son groupe des classes d'idéaux.
Histoire et origine du groupe des classes d'idéaux Les premiers groupes de classes rencontrés en algèbre furent des groupes de classes de formes quadratiques : dans le cas des formes quadratiques binaires, dont l'étude a été faite par Gauss, une loi de composition est définie sur certaines classes d'équivalence de formes. On obtient ainsi un groupe abélien fini.
Plus tard au , Kummer travailla à une théorie des corps cyclotomiques. Il comprit alors qu'il y avait une bonne raison pour que les tentatives de donner une démonstration complète du cas général du dernier théorème de Fermat par de simples méthodes de factorisation utilisant les racines de l'unité échouent : l'absence, en général, d'une décomposition en facteurs premiers dans l'anneau engendré par une racine de l'unité, était un obstacle majeur. La première étude de cette obstruction à la factorialité se trouve dans le travail de Kummer. L'obstruction obtenue par Kummer est, en langage contemporain, une partie du groupe des classes d'idéaux : en fait, Kummer a isolé la p-torsion dans ce groupe, pour le corps, dit cyclotomique, engendré par une racine primitive p-ième de l'unité, pour tout nombre premier p, et l'a identifiée comme la raison de l'échec des tentatives classiques de résolution du problème de Fermat (voir nombre premier régulier).
Dedekind formula ensuite le nouveau concept d'idéal. Ce langage donnait un cadre pour l'unification des divers exemples étudiés notamment par Kummer. Il fut montré que l'anneau des entiers algébriques d'un corps de nombres, qui n'est pas toujours factoriel (et a fortiori pas principal), possède cependant la propriété que dans cet anneau (intègre), tout idéal non nul est produit d'idéaux premiers (c'est-à-dire que c'est un anneau de Dedekind). Cette propriété est analysée dans l'article « Idéal fractionnaire ». Le monoïde des classes d'idéaux est un outil théorique pour étudier la question : quels idéaux sont des idéaux principaux ? C'est un groupe si l'anneau est de Dedekind, et même un groupe fini dans le cas des corps de nombres.
Développement technique
On démontre — voir « Idéal fractionnaire » — que ce monoïde (commutatif) est un groupe (commutatif) si et seulement si A est un anneau de Dedekind (comme l'anneau O des entiers algébriques d'un corps de nombres K). On l'appelle alors le groupe des classes d'idéaux de A. En particulier, le monoïde est trivial (c'est-à-dire réduit au neutre) si et seulement si A est principal.
En ce sens, le monoïde des classes mesure le défaut de principalité de A et a fortiori un défaut de factorialité (tout anneau principal est factoriel, et la réciproque est vraie pour un anneau de Dedekind, cf. § « Anneau de Dedekind » de l'article « Anneau principal »). Principalité et factorialité sont des propriétés de l'anneau ℤ des entiers relatifs ; le groupe des classes donne une première indication sur l'éloignement entre l'arithmétique de cet anneau et celle des anneaux d'entiers algébriques.
Tout groupe abélien est le groupe des classes d'un anneau de Dedekind.. Le nombre d'éléments du groupe des classes d'idéaux (appelé nombre de classes de A) peut donc être infini en général. Cependant, si A est un anneau d'entiers algébriques inclus dans une extension finie de ℚ, un théorème affirme que ce nombre est toujours fini. C'est un des principaux résultats de la théorie algébrique classique des nombres. Le calcul effectif du groupe des classes est complexe. En général, il peut être fait à la main pour les corps de nombres de petit discriminant, en utilisant les propriétés géométriques de l'anneau. Ce résultat donne l'existence d'une borne telle que dans chaque classe d'idéaux, il existe un représentant, un certain idéal, dont la norme est un entier plus petit que cette borne. Sachant qu'il n'existe qu'un nombre fini d'idéaux de norme donnée, il ne reste plus qu'un nombre fini de combinaisons à tester. Souvent, la borne n'est pas assez fine pour rendre le calcul praticable à la main dans un corps dont le discriminant est grand ; mais les ordinateurs suppléent efficacement le mathématicien dans cette tâche.
Pour continuer à étudier l'arithmétique des anneaux d'entiers algébriques, il faut introduire un autre groupe : le groupe des éléments inversibles, appelé groupe des unités ; dans le cas des entiers relatifs, ce groupe est réduit à 1 et –1. Quelles nouvelles unités trouve-t-on dans les autres anneaux ? L'existence de nouvelles unités est une autre obstruction à ce que l'arithmétique des anneaux d'entiers algébriques soit semblable à celle de ℤ.
Ces deux obstructions, groupe des classes et groupe des unités, peuvent être liées comme suit : définissons une application de K\{0} vers l'ensemble de tous les idéaux fractionnaires non nuls de A en envoyant chaque élément du corps vers l'idéal (fractionnaire) principal qu'il engendre. Ceci est un morphisme de groupes ; son noyau est le groupe des unités de A, et son conoyau est le groupe des classes d'idéaux de A. La non-trivialité de ces groupes, qui mesure la distance entre l'arithmétique de A et celle de ℤ, est précisément le défaut d'isomorphie de l'application.
L'association à un anneau d'entiers de son groupe des classes est fonctorielle, et le groupe de classes peut être interprété en termes de K-théorie algébrique : K0(A) est le foncteur assignant à A son groupe des classes d'idéaux ; plus précisément, K0(A) = ℤ × C(A), où C(A) est le groupe de classes. Les groupes Kn pour n plus élevé peuvent aussi être employés et interprétés arithmétiquement en relation avec les anneaux des entiers.
Exemples de groupes des classes d'idéaux
Les anneaux dont le groupe des classes est trivial sont les anneaux principaux. Les anneaux euclidens en font partie, comme l'anneau ℤ des entiers relatifs ou certains anneaux d'entiers de corps quadratiques : ℤ[] (entiers de Gauss, désignant l'unité imaginaire), ℤ[] (entiers d'Eisenstein, désignant une racine cubique primitive de l'unité), ℤ[(1 + )/2] (l'anneau des entiers de ℚ()). Le théorème de Stark-Heegner confirme la liste, initialement conjecturée par Gauss, des neuf seuls anneaux d'entiers de corps quadratiques imaginaires qui sont principaux (ce résultat est un cas particulier du problème du nombre de classes).
La configuration générale du groupe des classes de l'anneau des entiers d'un corps quadratique est étudiée dans l'article « Idéal de l'anneau des entiers d'un corps quadratique ».
Le groupe des classes de l'anneau des entiers d'un corps de nombres est d'ordre 1 ou 2 si et seulement si cet anneau est semi-factoriel., c'est-à-dire si pour tout élément non nul de l'anneau, toutes les factorisations de cet élément en produit d'irréductibles ont la même longueur.
Principe de la méthode
Recherche d'un point de petite norme dans un idéal thumb|Cette figure illustre la recherche d'un entier algébrique μ non nul d'un idéal. L'objectif est de choisir μ de norme la plus petite possible. L'objectif principal est de montrer que le groupe des classes d'un corps de nombres K — c'est-à-dire, par définition, le groupe des classes de l'anneau OK de ses entiers algébriques — est fini. La méthode consiste à montrer l'existence d'une constante c telle que chaque classe contient un idéal de norme plus petite que c. Pour ce faire, on considère un idéal M non nul et l'on cherche dans M un élément μ de plus petite norme possible, en valeur absolue.
La méthode consiste à considérer OK comme un groupe additif. Si d est le degré de l'extension K sur ℚ, alors ce groupe est isomorphe à un réseau de ℝd, c'est-à-dire à un groupe additif composé des vecteurs à coordonnées dans ℤ dans une base de ℝd.
L'approche choisie iciPour une démonstration beaucoup plus simple, voir par exemple ou , . se fonde sur l'usage d'outils géométriques ; on parle de géométrie arithmétique. Le théorème de Minkowski indique que tout convexe compact, symétrique par rapport au vecteur nul, de volume supérieur ou égal à 2d fois le volume fondamental du réseau, contient au moins deux points non nuls du réseau. Le volume fondamental est celui du parallélépipède formé des vecteurs de coordonnées comprises entre 0 et 1 dans la base définissant le réseau. Cette technique est illustrée par la figure de droite. Le corps considéré est construit à partir des entiers du ℚ[], le réseau est l'image de l'anneau par le morphisme de groupes qui à 1 associe (1, 0) et à ω, ici égal à , associe (0, ). L'idéal est celui des multiples de 2 dans OK. Le volume fondamental de l'idéal correspond à la surface du rectangle illustré en rouge, il est égal à 4, le disque vert possède une surface égale à 4 fois le volume fondamental, à savoir 16. Le disque vert, d'après le théorème de Minkowski, contient au moins un point non nul μ de l'idéal, par exemple 4.
thumb|left|Cette figure illustre le choix de la norme dans le cas d'un corps totalement réel. L'objectif est d'obtenir un entier algébrique de norme au sens arithmétique aussi petite que possible. Dans le cas où d est égal à 2, et si le corps n'est pas totalement réel, c'est-à-dire s'il est engendré par une racine négative, il est toujours possible de choisir une norme géométrique (celle utilisée pour le théorème de Minkowski) dont le carré est égal à la norme arithmétique. Ici, la norme arithmétique de l'entier algébrique μ est égale à 42 + 0 × 17 = 16. La surface du disque vert est égale à 64 et donc le carré du rayon approximativement à 5,25. On sait donc qu'il existe un entier algébrique μ dans l'idéal M de norme arithmétique inférieure ou égale à 5, car la norme d'un entier algébrique est entière.
La démarche est analogue si le corps est totalement réel. Cependant, si d est égal à 2 et si la racine concerne un entier strictement positif (qui engendre un corps totalement réel), le choix du réseau précédent n'est plus opérationnel car la norme arithmétique s'exprime maintenant comme une différence de deux carrés. La technique utilisée consiste à associer à la base canonique de l'anneau (1, ω) les points (1, 1) et (ω, ωc) où ωc désigne le conjugué de ω. La figure de gauche illustre le cas où le corps K est ℚ[], ω est égal à (1 + )/2 et son conjugué à (1 – )/2. L'anneau est composé des nombres de la forme a + bω, avec a et b éléments de ℤ. Cet anneau est étudié dans l'article entier quadratique. Les points représentent les images de l'anneau dans le réseau, les points rouges représentent les images de l'idéal M des multiples de 2 dans l'anneau.
Dans le réseau choisi, la norme arithmétique d'un point correspond au produit de ses deux coordonnées, car la norme d'un entier quadratique α est égale à α.αc (cf. l'article « Norme (théorie des corps) »). La zone des points de norme arithmétique inférieure, en valeur absolue, à une constante donnée, choisie égale à 4 sur la figure, est représentée en bleu. On remarque que cette zone ne peut correspondre ni à une boule pour une distance donnée, ni à une surface utilisable pour le théorème de Minkowski, elle n'est en effet pas convexe. Le convexe qui couvre au mieux la surface bleue est le carré vert de la figure. Il correspond à la distance qui, à (x, y), associe |x| + |y|. Une majoration de la norme géométrique fournit simplement une majoration de la norme arithmétique, en effet, si (α, αc) sont les coordonnées de l'image d'un nombre de l'idéal et si N(α) désigne la norme arithmétique de α et ||.|| la norme géométrique définie plus haut :