En analyse mathématique, la notion de limite décrit l’approximation des valeurs d'une suite lorsque l'indice tend vers l’infini, ou d'une fonction lorsque la variable se rapproche d’un point (éventuellement infini) au bord du domaine de définition. Si une telle limite dans l’ensemble d’arrivée, on dit que la suite ou la fonction est convergente (au point étudié). Si ce n’est pas le cas, elle est divergente, comme dans le cas de suites et fonctions périodiques non constantes (telle la fonction sinus en ).

Sous condition d’, le calcul des limites est simplifié par la compatibilité avec les opérations arithmétiques élémentaires, mais plusieurs formes indéterminées font obstacle à cette technique calculatoire. La comparaison de croissance permet de lever bien souvent ces indéterminations.

La détermination d’une limite peut être raffinée par l’expression d’un équivalent (notamment dans le cas d’une limite nulle ou infinie), d’asymptotes obliques ou de branches paraboliques, voire de développement limité ou asymptotique.

La limite d’une fonction en un point appartenant à son domaine de définition est liée à la caractérisation de sa continuité. Ce constat permet d’exprimer plus généralement la limite dans un cadre topologique à l’aide de la notion de voisinage. Elle peut même s’étendre hors de ce cadre avec la notion de filtre.

Pour une fonction d’une variable à valeurs vectorielles, et notamment une courbe intégrale d’un champ de vecteurs (par exemple associé à l’espace des phases pour une équation différentielle ordinaire du second ordre), l’absence de limite est parfois compensée par l’existence d’un cycle limite.

Limite de suite

Premiers exemples avec des suites réelles Lorsque est un très grand nombre (entier), son inverse est très proche de 0. Ce phénomène s’exprime par l’égalité .

De même, on peut écrire , car la racine carrée peut être rendue arbitrairement grande en prenant l’entier suffisamment grand (par exemple, pour obtenir , il suffit d’avoir ).

A contrario, il n’existe pas de limite pour la suite périodique , qui prend alternativement les valeurs et , mais qui ne tend ni vers , ni vers , ni vers quoi que ce soit d’autre dans l’intervalle ou en dehors. En tant que suite bornée, elle ne peut pas non plus tendre vers ou vers . Formalisation Limite finie La définition par Weierstrass de la convergence d’une suite réelle vers une limite finie s’exprime par la formuleOn obtient une définition équivalente lorsqu'on remplace par ou par , par la même technique que dans « Limite (mathématiques élémentaires) ».

ou encore, par une formulation équivalente dans le cas des suites réelles, mais qui s’adapte au cas des suites à valeurs complexes, . Cette définition s’étend encore aux suites dans un espace vectoriel normé en remplaçant la valeur absolue par la norme, et plus généralement aux suites dans un espace métrique avec la formulation . Dans chacun de ces cas, il ne peut y avoir deux limites différentes pour une même suite, ce qui permet d’exprimer la limite avec une égalité . On trouve parfois aussi la notation .

Limite infinie On dit qu’une suite réelle diverge vers dans le cas suivant : . Par analogie, elle diverge vers dans le cas . Les trois cas de limite (finie, infinie positive ou infinie négative) sont mutuellement exclusifs et ne recouvrent pas l’ensemble des suites réelles, puisque certaines n’ont pas de limite du tout. On dit alors qu’elles divergent sans limite.

Formulation topologique Pour une suite à valeurs dans un espace topologique , on dit que la suite converge vers un élément si pour tout ouvert contenant , il existe un rang tel que pour tout on a . Mais l’unicité de la limite repose alors sur l’hypothèse que l’espace soit séparé.

Cette définition recouvre celles des limites de suites à valeurs réelles, complexes ou dans des espaces métriques, mais s’applique également à d’autres espaces non métrisables, comme des espaces fonctionnels non normés. Pour une même suite de fonctions, différentes normes ou topologies peuvent être prises en compte conduisant à l’existence ou non de limites (convergence simple, convergence uniforme, convergence en norme ou au sens des distributions…)

Conditions d’existence Cas des suites monotones Toute suite réelle croissante a une limite, qui est finie si et seulement si la suite est majorée. Dans ce cas, la limite de la suite est égale à la borne supérieure de ses valeurs.

De même, toute suite réelle décroissante a une limite qui est finie si et seulement si la suite est minorée, et dans ce cas la limite de la suite est égale à la borne inférieure de ses valeurs.

Ces propriétés découlent de la propriété de la borne supérieure dans l’ensemble des réels, et elles permettent de définir également la limite inférieure d’une suite minorée et la limite supérieure d’une suite majorée : , .

En particulier, une suite bornée converge si et seulement si sa limite inférieure est égale à sa limite supérieure, et dans ce cas la limite de la suite est cette valeur commune. Cette propriété se généralise avec l’étude des valeurs d’adhérence d’une suite à valeurs dans un espace compact.

Autres conditions Toute suite convergente est bornée mais une suite bornée n’est pas nécessairement convergente.

Deux suites adjacentes convergent toutes deux vers la même limite réelle.

Pour une suite à valeurs réelles, complexes ou dans n’importe quel espace complet, la convergence est équivalente au critère de Cauchy : .

Pour une suite récurrente avec une fonction de récurrence , si la suite converge vers un élément en lequel la fonction est continue, alors est un point fixe de .

Application aux séries Pour une suite (à valeurs réelles, complexes ou vectorielles), la série associée est aussi une suite, définie pour tout entier par , et si elle converge sa limite est la somme de la série, notée .

La convergence de la série n’est alors possible que si la suite initiale tend vers 0. Dans le cas contraire, on dit que la série diverge grossièrement.

Dans le cas d’une suite réelle positive, la série est nécessairement croissante et admet toujours une limite finie ou infinie.

Dans le cas d’une série alternée s’écrivant pour tout entier , si la suite est (positive) décroissante de limite nulle, la suite des termes de rang pair et la suite des termes de rang impair forment des suites adjacentes donc la série converge, et le reste est toujours inférieur en valeur absolue au premier terme négligé .

Limite de fonction La notion de limite de fonction ressemble à celle de la limite d’une suite, à ceci près que la variable de la fonction peut tendre vers n’importe quelle valeur de son domaine de définition ou à la frontière de celui-ci. Ainsi, pour une fonction définie sur un intervalle , on peut étudier les éventuelles limites de la fonction en tout réel de l’intervalle, mais aussi aux bornes et , que ces bornes soient finies ou infinies.

Limite finie en une valeur finie Définition Pour une fonction réelle ou complexe d’une variable réelle ou complexe, la formulation d’une limite finie en une valeur finie est semblable à celle de la limite d’une suiteOn obtient une définition équivalente lorsqu'on remplace « < δ » par « ≤ δ » ou « < ε » par « ≤ ε », comme le font , conformément au . :

Cette définition moderne, cohérente avec la définition topologique générale et désormais en vigueur en FranceSelon les programmes publiés régulièrement au Bulletin officiel) dans l'enseignement secondaire et les classes préparatoires, supplante la définition historique de Weierstrass, appelée aussi « limite épointée » ou « limite par valeurs différentes »., enseignée encore parfois dans les universités françaises et dans d’autres paysCf. par exemple Mathématiques L1, Cours complet avec et exercices corrigés sous la direction de J.-P. Marco et L. Lazzarini (2007) Pearson, , p. 691-692, ou encore Mathématiques. Tout-en-un pour la Licence. Niveau L1 sous la direction de J.-P. Ramis et A. Warusfel, éd., 2013, p. 568, , ou encore Wikipédia (en) : .

Lorsque la fonction  est définie en un réel , si elle admet une limite en alors cette limite est nécessairement.. égale à . Plus précisément, la fonction admet une limite finie en un point de son domaine de définition si et seulement si elle est continue en . Cette condition peut aussi s’exprimer par l’égalité avec la limite épointée : .

Application La définition de cette limite est particulièrement utile pour déterminer le nombre dérivé comme limite du taux d'accroissement.

Limite à gauche ou à droite

Pour une fonction d’une variable réelle , lorsque se rapproche d’un réel , il se peut que les valeurs soient très contrastées selon que la variable soit inférieure ou supérieure à , comme dans le cas particulier de la fonction inverse en 0, où l’on ne peut définir de limite cohérente. Dans ce cas, on peut définir une limite à gauche et une limite à droite éventuellement différentes.

La limite d’une fonction à gauche en un réel s’écrit ou , voire ou . Sa limite à droite en s’écrit ou , voire ou .

Pour une fonction définie au voisinage à gauche et à droite d’un réel , l’existence et l’égalité des limites à gauche et à droite est équivalente à l’existence d’une limite épointée (avec la même valeur).

Expression générale Afin d’unifier les différentes formulations de limites, on recourt à la notion de voisinage, qui s’applique à tout réel (éventuellement à droite ou à gauche) et à l’infini (en ou en ). On utilise aussi la notation de la droite réelle achevée.

Soit une fonction définie au voisinagef est dite définie au voisinage de a si a est adhérent au domaine de définition de f, c'est-à-dire si tout voisinage de a contient au moins un point où f est définie, ou encore s'il existe une suite de réels convergeant vers a telle que soit défini pour tout n. (éventuellement à gauche ou à droite) de et soit . On dit que la fonction admet la limite en si pour tout voisinage de , il existe un voisinage (à gauche ou à droite) de tel que .

On démontre que le réel L de la définition, lorsqu'il existe, est unique et on l'appelle limite de f au point p. On le note :

Critère séquentiel de la limite de fonction La fonction admet la limite en si et seulement si pour toute suite dans de limite , la suite a pour limite .

Exemples

La limite de en l'infini est égale à 0 : La limite de en 0 n'existe pas. La limite à droite est : La limite de en 3 est égale à 9 (dans ce cas la fonction est définie et continue en ce point et la valeur de la fonction est égale à la limite) : La limite de en 0 est égale à 1 : La limite de en 0 est égale à 2 : La limite à droite de en 0 est égale à 1 et la limite à gauche est égale à –1 : La limite de en est égale à 1 : La limite de en 0 est égale à 0 :

Propriétés

Limite et opérations algébriques Le passage à la limite des fonctions est compatible avec les opérations algébriques : Si

alors

(La dernière propriété suppose que L2 n'est pas nulle.)

Ces propriétés sont aussi valables pour les limites à droite et à gauche, pour le cas p = , et aussi pour les limites infinies en utilisant les règles suivantes : q + = pour q ≠ ; q × = si q > 0 ; q × = si q < 0 ; q / = 0 si q ≠ . (Voir l'article « Droite réelle achevée ».)

Remarquons qu'il n'y a pas de règle générale pour le cas q / 0 : cela dépend de la façon dont on s'approche de 0. Certains cas, comme 0/0, 0×, ou , ne sont pas non plus couverts par ces règles.

Limite et relation d'ordre Si une fonction f d'une variable réelle à valeurs réelles est positive ou nulle au voisinage de p, et si la limite de f en p existe, cette limite sera positive ou nulle. Si une fonction f d'une variable réelle à valeurs réelles est strictement positive au voisinage de p, et si la limite de f en p existe, cette limite sera positive ou nulle, mais on ne peut pas garantir que cette limite soit strictement positive.