En théorie des nombres, le théorème de von Staudt-Clausen est un résultat sur la partie fractionnaire des nombres de Bernoulli non entiers.
Précisément, si n = 2k est un entier pair non nul et si l'on ajoute à B pour tous les nombres premiers p tel que p – 1 divise n, on obtient un nombre entier :
La propriété est également vérifiée pour n = 1 : B + = 0. (Pour les autres nombres de Bernoulli d'indice impair, on obtient .)
Par conséquent, les nombres de Bernoulli non nuls de rang pair B (k ≥ 1) s'écrivent :
où A est un nombre entier.
Ce fait permet immédiatement de caractériser les dénominateurs des nombres de Bernoulli B non entiers comme le produit de tous les nombres premiers p tel que p – 1 divise n ; par conséquent, les dénominateurs sont sans carré et, si n est pair, divisibles par 6.
Le résultat fut nommé ainsi en l'honneur de Karl von Staudt et Thomas Clausen, qui l'ont découvert indépendamment en 1840.
Exemples
Bibliographie et I. R. Chafarevitch, Théorie des nombres, Gauthier-Villars, 1966, p. 431-433 N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Fonctions d'une variable réelle, nouvelle édition, 1971, VI, p. 24 G. H. Hardy et E. M. Wright, Introduction à la théorie des nombres , théorème 118
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