En mathématiques, la fonction de Clausen, étudiée par Clausen puis (entre autres) Kummer et Rogers, est définie par l'intégrale suivante : .

Plus généralement, on définit, pour : .

Propriétés

Les fonctions de Clausen sont impaires et -périodiques, donc nulles sur ℤ. . La fonction pour est reliée au polylogarithme par : ; . Pour tout entier , .

pour , où est la fonction zêta de Riemann, ..

Accélération du calcul de la série Une des accélérations de série de la fonction de Clausen est donnée par : , pour .

Une forme convergeant plus rapidement est donnée par : .

La rapidité de la convergence de cette série est due au fait que tend rapidement vers quand tend vers l'infini. Ces deux formes sont générées grâce aux techniques de somme utilisées pour obtenir la série zêta rationnelle..

Valeurs particulières

où est la constante de Catalan. Plus généralement :

pour s pair (c'est une série sinus. Si s impair série cosinus liée à la fonction η de Dirichlet.

où est la fonction bêta de Dirichlet.

La valeur maximale de est la .Apparaît sous le nom de « constante de Lobachevsky » dans . : .

Le du complément du est le double de cette constante.. : ()Pour de nombreuses autres expressions de , voir ..

Lien avec la fonction de Lobatchevski

La fonction de Lobatchevski or Л est essentiellement la fonction de Clausen, à un petit changement de variable près :

.

Néanmoins, l'appellation « fonction de Lobatchevski » n'est historiquement guère pertinente car les formules de Lobatchevski pour le utilisaient une fonction légèrement différente, à savoir

Extensions : les fonctions de Glaisher-Clausen

Plus généralement, on peut définir deux classes de fonctions de Clausen généralisées :

La définition est valide pour tout complexe z tel que . Le domaine de définition peut être étendu à tout le plan complexe par prolongement analytique.

Pour z entier positif, les fonctions de Clausen standard sont définies par les séries de Fourier suivantes :

Les fonctions de Clausen de type SL sont aussi notées et parfois appelées fonctions de Glaisher-Clausen (du nom de James Whitbread Lee Glaisher, d'où la notation GL), qu'on peut définir par :

Références

Voir aussi

Clausen