En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, le produit direct d'une famille de groupes est une structure de groupe qui se définit naturellement sur le produit cartésien des ensembles sous-jacents à ces groupes.

Produit direct de deux groupes

Soient et deux groupes. Désignons par leur produit cartésien (ou, plus exactement, le produit cartésien de leurs ensembles sous-jacents). Il est naturel de définir sur une loi de composition composante par composante :

,

le produit apparaissant dans le second membre étant calculé dans et le produit dans . On vérifie facilement que cette loi de composition munit d'une structure de groupe. Ce groupe est appelé produit direct (ou simplement produit) des groupes et et noté . Si et désignent respectivement les neutres de et de , le neutre de est . Le symétrique d'un élément de est l'élément .

L'application définit un isomorphisme de sur (« commutativité » du produit direct) et l'application définit un isomorphisme de sur (« associativité » du produit direct).

Produit direct d'une famille de groupes

Définition

La définition qui précède se généralise comme suit à une famille quelconque de groupes.

Il est clair que cette loi de composition est bien une loi de groupe. Puisqu'en théorie des ensembles, le produit cartésien d'une famille d'ensembles a pour cardinal le produit des cardinaux de ces ensembles, l'ordre du produit direct d'une famille de groupes est le produit des ordres de ces groupes.

Remarques. Les notations ne sont pas tout à fait fixées. L'emploi ci-dessus du symbole est conforme à BourbakiAlgèbre, ch. 1, § 4, déf. 12, p. 43., à J.J. Rotman, éd., p. 308., à D.S. Dummit et R.M. Foote Abstract Algebra, Wiley, 2004, p. 157. et Stellmacher The Theory of Finite Groups, An Introduction, Springer, 2004, p. 27. notent ou encore ou encore le produit direct d'une famille finie de groupes. Ils n'emploient le symbole que pour désigner des opérations internes à un groupeOuvr. cité, p. 28.. W. R. Scott Group Theory, 1964, réimpr. Dover, 1987, (exemples 11 et 12)., désigne par le produit direct d'une famille de groupes. Les groupes ne sont pas forcément deux à deux distincts. Si, par exemple, ils sont tous égaux à un même groupe G, le produit est égal à l'ensemble des applications de I dans G, muni de la loi de groupe définie par . Il nous arrivera de désigner par le même symbole 1 (en contexte multiplicatif) ou 0 (en contexte additif) les neutres de tous les . En pratique, cela ne prête pas à confusion.

Pour tout élément j de I, désignons par l'application j-ième projection

du produit cartésien des (ensembles sous-jacents aux) dans . On vérifie facilement que est un homomorphisme surjectif de groupes, qu'on appelle j-ième homomorphisme de projection de sur .

Propriété universelle du produit d'une famille de groupes

Soit une famille (finie ou infinie) de groupes. Désignons par P le produit de cette famille et, pour chaque , par l'homomorphisme i-ème projection de P sur . Si H est un groupe et une famille d'homomorphismes , il existe un et un seul homomorphisme f de H dans P tel que, pour tout élément i de I, .

En effet, l'application est clairement un morphisme de groupes et satisfait évidemment à la propriété ci-dessus (ce qui est d'ailleurs un cas particulier de la propriété universelle du produit cartésien d'une famille d'ensembles).

Dans le langage de la théorie des catégories, la propriété universelle du produit d'une famille de groupes revient à dire que, dans les notations ci-dessus, P et la famille d'homomorphismes constituent un produit de la famille dans la catégorie des groupes.

Somme restreinte d'une famille de groupes

Pour tout élément j de I, désignons par l'application de dans qui envoie x sur la famille définie par si et si . On vérifie facilement que est un homomorphisme injectif de groupes, qu'on appelle j-ième injection canonique de dans .

(Si désigne le j-ème -homomorphisme projection de sur , on a évidemment, pour tout élément j de I, )

L'image de l'homomorphisme injectif est un sous-groupe de isomorphe à . C'est l'ensemble des éléments de tels que pour tout i distinct de j. On identifie souvent et ; par exemple, on dit que est un sous-groupe de .

On vérifie facilement que est un sous-groupe distingué de et que si i et j sont des éléments distincts de I, tout élément de commute avec tout élément de . (On ne peut pas en dire autant si i et j ne sont pas distincts, car n'est pas forcément commutatif.)

Définition

Le sous-groupe de engendré par les est l'ensemble des éléments de pour lesquels il n'y a qu'un nombre fini (éventuellement nul) d'indices i tels que . Cela nous amène à cette définition :

Définition. Soit une famille de groupes. L'ensemble des éléments de pour lesquels il n'y a qu'un nombre fini (éventuellement nul) d'indices i tels que se munit d'une loi de groupe par . Ce sous-groupe de est appelé la somme restreinte ou la somme directeN. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 4, Paris, 1970, p. I.45-46, dit « somme restreinte » dans le cas général et ne dit « somme directe » que si les groupes sont commutatifs. Jean Delcourt, Théorie des groupes, , Paris, 2012, p. 28, n'emploie que « somme directe », même si les groupes ne sont pas abéliens. de la famille de groupes . Quand les groupes sont abéliens, on dit somme directe plutôt que somme restreinte.

Nous noterons la somme restreinte de la famille de groupes . Il faut cependant noter que les notations ne sont pas fixées, emploie une autre notation. La notation utilisée dans le présent article est proche de celle de W.R. Scott, Group Theory, 1964, rééd. Dover, 1987, p. 15.. Quand les groupes sont commutatifs, la somme directe est également notée .

D'après ce qui précède, la somme restreinte est un sous-groupe du produit direct et il est clair que ce sous-groupe est distingué. On a noté que les sont distingués dans , donc ils sont distingués dans .

Si l'ensemble I est fini, ou, plus généralement, s'il n'y a qu'un nombre fini d'éléments i de I tels que soit non trivial (par trivial, on entend ici réduit au neutre), le produit direct et la somme restreinte de la famille se confondent.

D'après ce qui précède, la j-ième injection canonique de dans prend ses valeurs dans la somme restreinte. Nous parlerons donc aussi de la j-ième injection canonique comme d'un homomorphisme de dans la somme restreinte.

Propriété universelle de la somme directe d'une famille de groupes abéliens

La somme restreinte d'une famille de groupes possède la propriété suivanteVoir N. Bourbaki, Algèbre, vol. I, Paris, 1970, p. I.45, prop. 12. :

Soient une famille de groupes, K un groupe et une famille d'homomorphismes telle que, pour tous éléments distincts i, j de I, chaque élément de commute avec chaque élément de . Il existe un et un seul homomorphisme f de dans K tel que, pour tout élément j de I, .

En effet, considérons l'application ; cette application est correctement définie parce que, d'une part, il y a au plus un nombre fini de i tels que et, d'autre part, parce que, pour i distinct de j, commute avec , ce qui permet de définir indépendamment de tout ordre sur I. On vérifie facilement que f est un homomorphisme et qu'il est bien le seul homomorphisme de dans K tel qu'annoncé.

Si le groupe K est abélien, l'hypothèse de commutation est automatiquement vérifiée et l'on obtient : Soient une famille de groupes, et K un groupe abélien. Le morphismeest un isomorphisme.

Si tous les groupes sont abéliens alors leur somme directe l'est aussi, et le théorème ci-dessus fournit la propriété universelle de la somme directe :

Propriété universelle de la somme directe. Soient une famille de groupes abéliens, K un groupe abélien et une famille d'homomorphismes. Il existe un et un seul homomorphisme f de dans K tel que, pour tout élément j de I, .

Dans le langage de la théorie des catégories, la propriété universelle de la somme directe d'une famille de groupes abéliens revient à dire que si est une famille de groupes abéliens, le groupe et, dans les notations ci-dessus, la famille d'homomorphismes constituent une somme (aussi appelé « coproduit » ) de la famille dans la catégorie des groupes abéliensVoir S. Lang, Algèbre, Paris, Dunod, 2004, pp. 39 et 137.. Nous avons ainsi prouvé que les sommes existent dans la catégorie des groupes abéliens. Les sommes existent aussi dans la catégorie des groupesS. Lang, Algèbre, éd., Paris, Dunod, 2004, p. 74. sous le nom de produits libres, et la somme restreinte d'une famille de groupes commutatifs est l'abélianisé de son produit libre.

Somme restreinte interne d'une famille de sous-groupes

Soient G un groupe et une famille de sous-groupes de G telle que, pour tous éléments distincts i et j de I, tout élément de commute avec tout élément de . Pour tout élément j de I, désignons par la j-ième injection canonique de dans la somme restreinte des et par l'homomorphisme inclusion de dans . D'après la propriété de la somme restreinte énoncée plus haut, il existe un et un seul homomorphisme f de la somme restreinte des dans G tel que, pour tout élément j de I,

et cet homomorphisme peut se définir par

Définition. Soient G un groupe et une famille de sous-groupes de G. On dit que G est somme restreinte interne de la famille si pour tous éléments distincts i et j de I, tout élément de commute avec tout élément de et que l'homomorphisme de la somme restreinte des dans G est un isomorphisme.

On vérifie facilement que si G est un groupe et une famille de sous-groupes de G, G est somme restreinte interne de cette famille si et seulement si les deux conditions suivantes sont satisfaites : pour tous éléments distincts i et j de I, tout élément de commute avec tout élément de ; pour tout élément x de G, il existe une et une seule famille telle que pour tout i, sauf peut-être pour un nombre fini de i et .

Les sont alors des sous-groupes distingués de G et engendrent G.

Quand on veut distinguer entre la somme retreinte et la somme restreinte interne, on dit « somme restreinte externe » pour « somme restreinte ». Toutefois, on néglige souvent de faire la distinction et on dit volontiers « somme restreinte » pour « somme restreinte interne ».

Somme directe interne d'une famille de sous-groupes abéliens Dans le cas où G est abélien, on parle de somme directe interne (ou simplement somme directe) plutôt que de somme restreinte interne. Dans ce cas, la caractérisation d'une somme directe interne se simplifie :

Soient G un groupe abélien et une famille de sous-groupes de G. G est somme directe (interne) de cette famille si et seulement si la condition suivante est satisfaite (en notations additives) : pour tout élément x de G, il existe une et une seule famille telle que pour tout i, sauf peut-être pour un nombre fini de i et .

Produit direct interne d'une famille finie de sous-groupes

Dans le cas où I est fini, on dit souvent « produit direct interne » ou simplement « produit direct » au lieu de « somme restreinte interne»Voir par exemple ..

Dans ce cas, on peut caractériser comme suit la somme restreinte interneVoir par exemple N. Bourbaki, Algèbre, vol. I, Paris, 1970, p. I, 46. :

Soient G un groupe et une famille finie de sous-groupes de G. G est somme restreinte interne (produit direct interne dans une autre terminologie) de cette famille si et seulement si les conditions suivantes sont satisfaites : a) chaque est sous-groupe distingué de G, b) les engendrent G, c) pour tout i < n.

Dans le cas particulier où n = 2, ceci montre qu'un groupe G est somme restreinte interne de deux sous-groupes H et K si et seulement si ces sous-groupes sont distingués, engendrent G et ont une intersection réduite au neutre. On peut même simplifier ces conditions en : c) H ∩ K est trivial, b') G = HK, a') H et K se normalisent mutuellement (d'après un fait sur les commutateurs, cela suffit, compte tenu de c, pour que tout élément de H commute avec tout élément de K).