En mathématiques, une tribu ou σ-algèbre (lire sigma-algèbre) ou plus rarement corps de BorelSignalé en note par . C'est la terminologie historiquement utilisée par Andreï Kolmogorov dans son axiomatisation de la théorie des probabilités. sur un ensemble X est un ensemble non vide de parties de X, stable par passage au complémentaire et par union dénombrable (donc aussi par intersection dénombrable). Les tribus permettent de définir rigoureusement la notion densemble mesurable.
Progressivement formalisées pendant le premier tiers du , les tribus constituent le cadre dans lequel s'est développée la théorie de la mesure. Leur introduction est notamment rendue nécessaire par le théorème d'Ulam. Les exemples les plus fameux en sont les tribus boréliennes, du nom d'Émile Borel, qui construisit la tribu borélienne de la droite réelle en 1898, et la tribu de Lebesgue, formée des ensembles mesurables définis par Henri Lebesgue en 1901. En conséquence, les tribus sont aussi fondamentales en théorie des probabilités, dont l'axiomatisation moderne s'appuie sur la théorie de la mesure. Dans ce domaine, les tribus ne sont pas seulement le support du formalisme, mais aussi un outil puissant, qui est à la base de la définition de concepts parmi les plus importants : espérance conditionnelle, martingales
Définition
Une minorité de sources exigent également que ne soit pas vide ou ; cette hypothèse supplémentaire n'est utilisée à aucun endroit de cet article.
Formellement : contient (où désigne le complémentaire de dans ). si alors (l'union est dite « dénombrable » parce que l'ensemble des indices l'est).
La définition qui précède a l'intérêt d'être lisible sans connaître le langage des algèbres de Boole ; si on le connaît, on peut l'exprimer sous forme plus resserrée :
Le couple est appelé espace mesurableCertaines sources relativement anciennes proposent des définitions marginalement différentes : pour , un espace mesurable est un ensemble muni d'un σ-anneau à unité ; pour , c'est un ensemble muni d'un sigma-anneau (sans condition d'existence d'une unité). Les relations entre les trois définitions sont exposées dans l'ouvrage de S. Berberian, . ou espace probabilisable en fonction du contexte. Sur les espaces mesurables on définit des mesures ; sur les espaces probabilisables on s'intéresse spécifiquement aux probabilités.
Les parties de qui appartiennent à la tribu sont appelées ensembles mesurables. Dans un contexte probabiliste, on les appelle événements.
Quelques exemples
La tribu dite grossière : . La tribu dite discrète : où représente l'ensemble de toutes les parties de . Si alors est une tribu sur . C'est la plus petite tribu contenant l'ensemble . Pour tout , ou fini ou dénombrable est une tribu sur . En revanche si est infini, ou fini n'est pas une tribu sur , bien que ce soit une algèbre de Boole de parties de .
Motivations
En analyse, l'importance des tribus s'est progressivement affirmée au long des trente premières années du . Le siècle s'ouvre par l'élaboration par Henri Lebesgue de sa théorie de l'intégration. Dans la décennie suivante on commence à exploiter la notion géométrique de mesure en probabilités estime que le « pas décisif est franchi » en 1914, à la publication des Grundzüge der Mengenlehre de Felix Hausdorff en s'appuyant notamment sur une citation de Wilhelm Blaschke., Johann Radon construit en 1913 une théorie de l'intégration sur qui généralise à la fois celle de Lebesgue et celle de Stieltjes, Felix Hausdorff définit en 1918 la mesure qui porte aujourd'hui son nom en dimensions non entières. Simultanément, on s'efforce de bâtir une axiomatisation abstraite de l'intégration dans laquelle s'intègreraient toutes ces nouvelles théories. Cette unification, réalisée dans le début des années 1930, s'appuie sur la définition moderne d'une mesure. La notion de tribu en est un élément constitutif.
Les tribus sont également les constructions nécessaires à la définition rigoureuse d'une mesure d'aire (mesure de Lebesgue). En première approche, l'aire pourrait être définie intuitivement comme l'image d'un ensemble par une mesure (avec éventuellement si ) vérifiant les propriétés suivantes : L'ensemble vide « n'a pas d'aire » : . Les aires s'ajoutent : Si est une suite de parties du plan deux à deux disjointes, alors . L'aire est invariante par déplacements : Si deux ensembles et se déduisent l'un de l'autre par translation ou rotation, alors . Pour tout rectangle non plat, on a .
Cependant, il vient le problème suivant.
Il faut donc accepter que certains ensembles n'aient pas d'aire, on doit donc restreindre la notion d'aire à un ensemble de parties qui possèdent une aire. On a besoin que soit stable par réunion dénombrable au vu de (2), de même il serait nécessaire que soit stable par passage au complémentaire. Cela permet donc d'introduire la notion de tribu, on introduit également la notion de mesure au sens large, qui se contentera de ne vérifier que (1) et (2), puisque (3) et (4) sont des propriétés qu'on attendrait d'une mesure d'aire, et pas forcément d'une mesure dans le cas général.
thumb|Un exemple de processus aléatoire : le mouvement brownien. Depuis la publication en 1933 des Fondements de la théorie des probabilités d'Andreï Kolmogorov, les probabilités sont solidement ancrées sur la théorie de la mesure. Les σ-algèbres y jouent un rôle incontournable, peut-être plus central qu'en analyse : ici elles ne sont pas seulement un cadre de travail, mais aussi un outil puissant. La preuve de la loi du zéro-un de Kolmogorov fournit un exemple relativement élémentaire de leur efficacité.
La théorie des processus stochastiques (l'étude probabiliste de phénomènes variant avec le temps) permet de donner une interprétation intuitive de certaines tribus. Par exemple, supposons qu'on s'intéresse à l'évolution du prix d'un actif financier en fonction du temps. L'espace des événements est l'ensemble des évolutions possibles de cet actif, c'est-à-dire des fonctions associant à chaque instant un prix. Pour chaque valeur du temps, on définit ainsi une tribu : étant donné un ensemble d'événements, on décidera que est dans si on peut le décrire par une formulation qui, lue par un observateur vivant à la date , ne se réfère qu'au passé. Pour fixer les idées, si est l'événement « le cours de l'actif a constamment augmenté pendant l'année 2006 », il appartient à puisqu'un observateur vivant en 2010 peut en décider en consultant des archives, mais n'est pas dans (sauf à être extralucide, un observateur vivant en 2005 n'en peut rien savoir). On dispose finalement d'une tribu évoluant en fonction du temps, dont la valeur représente le niveau d'information disponible à la date . Sa croissance exprime l'expansion constante de l'information disponible. Cette famille croissante de tribus (on parle de filtration) permet alors de formaliser diverses hypothèses sur le phénomène modélisé (via les concepts d'espérance conditionnelle, de martingale) puis d'en tirer mathématiquement des conclusionsL'idée selon laquelle ce type de tribu « représente la connaissance » à un temps donné est explicitement énoncée dans . On trouve une exposition intuitive des tribus comme ensembles d'« observables » dans ..
Propriétés élémentaires Une tribu est stable par union finie (appliquer le point 3 de la définition à une suite infinie dénombrable constituée de ensembles, le dernier étant répété à l'infini). (prendre un élément et écrire ). ( est le complémentaire de ). Une tribu est également stable pour l'opération d'intersection dénombrable (d'après les points 2 et 3 de la définition) et a fortiori stable sous intersection finie : si alors . Une intersection quelconque (finie, infinie, y compris infinie non-dénombrable) de tribus est une tribu. Ainsi, si est une famille de tribus sur , alors est aussi une tribu sur . A contrario, une union de tribus n'est généralement pas une tribu. Le critère suivant est occasionnellement utile pour prouver qu'un ensemble de parties est une tribu :
On le prouve facilement en remarquant que pour toute suite d'éléments de (a priori non disjoints) on peut écrire :
D'autres sources fournissent une variante de cette proposition, en posant comme troisième condition la stabilité par réunion dénombrable croissante. Si on est familier du vocabulaire défini à l'article « lemme de classe monotone », cet énoncé peut se dire ainsi : tout λ-système qui est aussi un π-système est une σ-algèbreL'énoncé est ainsi donné sous cette forme (et les λ-systèmes définis à partir d'unions croissantes) dans , lemme 4-10, ..
Tribu engendrée par un ensemble de parties
Si est un ensemble arbitraire de parties de , il existe alors une plus petite tribu (au sens de l'inclusion) contenant , notée et appelée la tribu engendrée par .
On prouve l'existence de en la définissant comme l'intersection de toutes les tribus sur qui contiennent (cette intersection a un sens, puisqu'au moins une telle tribu existe, à savoir la tribu discrète).
Exemples : Soit et , alors . Pour et , on retrouve l'exemple donné plus haut. Soit l'ensemble des singletons de l'espace de référence . La tribu est égale à ou fini ou dénombrable : on retrouve là aussi un exemple déjà mentionné.
On dispose d'un procédé un peu plus constructif de production de , par application itérée à partir des éléments de des opérations d'intersection, de réunion dénombrable et de passage au complémentaire. La construction est toutefois techniquement un peu subtile, car il ne suffit pas de répéter cette itération fois, il faut faire l'itération fois, pour cela on définit une application de source . La définition de se fait par récurrence transfinie. La -algèbre engendrée sera .
Deux exemples importants : les tribus de Borel et de Lebesgue
On appelle tribu de Borel ou tribu borélienne sur un espace topologique donné la tribu engendrée par les ensembles ouverts. Dans le cas simple et fondamental de l'espace usuel à dimensions, la tribu borélienne de est engendrée par une famille dénombrable de parties, les pavés dont les sommets sont à coordonnées rationnelles. Par un résultat mentionné plus loin, elle a donc la puissance du continu .
En probabilités, ou dans les théories de l'intégration dérivant de celle de la mesure, la tribu de Borel de (ou de la droite achevée ) joue un rôle prééminent : c'est en effet relativement à elle qu'on définit les fonctions mesurables à valeurs réelles ou les variables aléatoires réelles notent qu'il serait « irréaliste » d'essayer de munir l'ensemble d'arrivée de la tribu de Lebesgue..
Les tribus boréliennes sont le cadre naturel où se rencontrent les théories de l'intégration et la théorie de la mesure, notamment par le théorème de représentation de Riesz qui associe une mesure définie sur la tribu de Borel à certaines fonctionnelles sur un espace de fonctions continues.
Bien que les espaces métriques non dénombrables usuels aient des propriétés topologiques extrêmement dissemblables, toutes leurs tribus boréliennes sont indiscernables. Un théorème de Kuratowski affirme en effet que tous ceux appartenant à une très large classe, les espaces de Lusin, ont des tribus boréliennes isomorphes entre elles et en particulier isomorphes à la tribu de Borel sur la droite réelle. Les espaces de Lusin en tant qu'espaces mesurables sont donc classifiés par leur cardinal, Théorème 3-3-13, (la source ne fournit pas l'attribution à Kuratowski)..
Sur l'espace , une autre tribu mérite d'être signalée : la tribu de Lebesgue, dont les éléments sont les ensembles mesurables au sens de Lebesgue. Cette tribu contient strictement la tribu de Borel, dont elle est la complétée pour la mesure de Lebesgue. Si on accepte d'utiliser l'axiome du choix, elle ne coïncide pas non plus avec l'ensemble de toutes les parties de .
Constructions de tribus Tribu image réciproque