La conjecture d'Euler est une conjecture mathématique de théorie des nombres, réfutée, mais qui a été originellement proposée par le mathématicien suisse Leonhard Euler en 1772Cf. EulerNet: Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers et son lien vers une page détaillée., et qui s'énonce de la façon suivante : Pour tout entier supérieur ou égal à 3, la somme de puissances -ièmes strictement positives n'est pas une puissance -ième.
En d'autres termes, et de manière plus formelle :
Historique Euler percevait cet énoncé comme une généralisation de la conjecture de Fermat, à savoir que pour tout entier supérieur ou égal à 3, la somme de deux puissances -ièmes n'est pas une puissance -ième. Les deux énoncés coïncident pour = 3. Euler ajouta, , p. 648, citant E716 (1778). Dickson mentionne aussi (note 165) E428 (1772) et (note 167) E776 (1780) que
La conjecture d'Euler fut infirmée par L. J. Lander et T. R. Parkin en 1966 grâce au contre-exemple suivant :
En 1988, Noam Elkies trouva même une méthode pour construire des contre-exemples lorsque = 4. Son plus simple contre-exemple fut le suivant :
.
Par la suite, Roger Frye trouva le plus petit contre-exemple possible pour = 4 en utilisant, avec un ordinateur, des techniques suggérées par Elkies :
.
En 2020, aucun contre-exemple n'est connu pour .
Sommes de n puissances n-ièmes Dans ce cas (correspondant à la résolution d'équations diophantiennes de la forme ), il semble y avoir toujours des solutions non triviales, souvent en nombre infini.
On obtient les triplets pythagoriciens, par exemple , et plus généralement .
(nombre de Platon 216) ; c'est le cas correspondant à de la formule due à Srinivasa Ramanujan :
On peut également paramétrer un cube comme somme de trois cubes par : ou par
Anecdotiquement, le nombre 3 peut être exprimé comme somme de trois cubes de neuf façons différentes.
(Lander, Parkin, Selfridge, le plus petit exemple, 1967) (Lander, Parkin, Selfridge, le second plus petit, 1967) (Sastry, 1934, le troisième plus petit)
ou (M. Dodrill, 1999)
(S. Chase, 2000)
Conjecture voisine
En 1967, Lander, Parkin et Selfridge ont conjecturé que si et , il n'existe pas d'entiers strictement positifs tels que
Cela impliquerait en particulier que
Notes et références
Voir aussi Articles connexes Équation diophantienne Suite de Sidon
Théorème d'Erdős-Suranyi
Liens externes
Euler Catégorie:Équation diophantienne