En analyse complexe, une fonction entière est une fonction holomorphe définie sur tout le plan complexe. C'est le cas notamment de la fonction exponentielle complexe, des fonctions polynomiales et de leurs combinaisons par composition, somme et produit, telles que sinus, cosinus et les fonctions hyperboliques.
Le quotient de deux fonctions entières est une fonction méromorphe.
Considérée comme un cas particulier de la théorie des fonctions analytiques, la théorie élémentaire des fonctions entières ne fait que tirer les conclusions de la théorie générale. C'est celle que l'on voit essentiellement dans un premier cours sur la théorie des fonctions complexes (souvent enrichi du théorème de factorisation de Weierstrass). Mais l'étude, commencée depuis le milieu du , par Cauchy, Laguerre, Weierstrass… s'est considérablement enrichie sous l'impulsion de Borel, Hadamard, Montel, Picard, Valiron, Blumenthal… (sans oublier Nevanlinna) et constitue maintenant une imposante théorie.
La théorie des fonctions entières se fixe comme buts de classifier les fonctions entières selon leurs croissances, de préciser le lien entre les coefficients de Taylor de la fonction et la croissance, le lien entre les zéros éventuels et le comportement de la fonction, et les relations entre la fonction et ses dérivées sur ces questions.
Ces aspects de la théorie des fonctions entières ont été étendus aux fonctions méromorphes. L'ensemble des fonctions entières forme un anneau intègre qui est de Bézout, mais qui n'est pas atomique (et donc non factoriel et non noethérien).
Les fonctions entières dans la théorie des fonctions analytiques On classe habituellement les fonctions analytiques complexes selon leur complexité, et cette complexité est celle de leurs singularités. Hormis les fonctions polynomiales, apparaissent ainsi les fonctions entières qui sont l'objet de cet article, les fonctions méromorphes qui sont des quotients de fonctions entières et dont les seules singularités sont polaires, les fonctions présentant des singularités essentielles ou des points de branchement formant ainsi les fonctions les plus compliquées parmi les fonctions analytiques d'une seule variable complexe.
Les fonctions entières apparaissent comme des généralisations des fonctions polynomiales : elles se comportent comme des « polynômes de degré infini ». Ce sont ainsi les fonctions analytiques les plus simples en dehors des polynômes, n'ayant aucune singularité à distance finie et une seule singularité à l'infini, comme on le verra. Cependant, l'étude de ces fonctions est difficile et il reste encore de très nombreuses questions ouvertes, bien que cette étude soit commencée depuis près de deux cents ans.
Théorie élémentaire Soit une fonction analytique complexe holomorphe en . Elle est développable en série entière autour du point selon la formule de Taylor :
La théorie des séries entières montre que la série précédente converge absolument et uniformément dans le disque de centre et de rayon tel que , donné par le théorème de Cauchy-Hadamard : (il faut remarquer qu'elle ne converge pas uniformément sur le disque ouvert de centre et de rayon , sinon, d'après le critère de Cauchy uniforme, elle convergerait sur le disque fermé de centre et de rayon , ce qui est faux en général).
Le principal résultat de la théorie des fonctions analytiques complexes est que le rayon de convergence est déterminé par la distance entre le point et la singularité la plus proche.
Soit une fonction entière ; elle n'a donc pas de singularité à distance finie. Comme précédemment, elle est développable en série entière convergente de la forme , et, comme elle n'a d'autre singularité que le point à l'infini, le rayon de convergence est infini. Autrement dit, la série converge quelle que soit la valeur de .
On a donc
Et il en est de même de chacune de ses dérivées qui sont entières également.
La formule intégrale de Cauchy
permet, en développant la fraction en série entière, d'identifier les coefficients de Taylor à des intégrales : Dans les deux cas est un chemin fermé (un lacet) sans boucle entourant .
Les inégalités de Cauchy
Dans la formule intégrale donnant les coefficients, en appelant le maximum du module de la fonction sur le disque de centre et de rayon , une majoration simple donne les importantes inégalités de Cauchy
Pour une fonction entière, R est un réel positif quelconque.
Le théorème de Liouville Un résultat important sur les fonctions entières est le théorème de Liouville :
Une démonstration possible est l'application des inégalités de Cauchy en remarquant que est alors borné quel que soit . Il suffit donc de faire tendre vers l'infini pour avoir le résultat.
Cela peut être utilisé pour fournir une démonstration élégante, par l'absurde, du théorème de d'Alembert-Gauss :
Le petit théorème de Picard renforce considérablement le théorème de Liouville
Dans un certain sens, qui sera précisé plus tard, la théorie des fonctions entières tourne entièrement autour du petit théorème de Picard.
Propriétés algébriques Une fonction holomorphe définie sur un domaine – c'est-à-dire un ouvert connexe – s'étend en une fonction entière si et seulement si le rayon de convergence de sa série de Taylor est infini en un point quelconque de son domaine.
L'ensemble des fonctions entières est stable par composition et forme une sous-algèbre complexe de l'espace des fonctions continues du plan complexe dans lui-même. Le point à l'infini Comme une fonction entière est constante si elle est bornée, et qu'elle ne peut avoir aucun autre point singulier que l'infini, le point à l'infini est un point singulier pour toute fonction entière non constante. Il ne peut s'agir que d'un pôle ou d'une singularité essentielle. Dans le premier cas (le pôle à l'infini), la fonction entière est un polynôme. Dans le second cas (singularité essentielle en l'infini), on dit que la fonction est transcendante.
La croissance des fonctions entières Le module maximum des fonctions entières
Par définition, les fonctions entières ne présentent que le point à l'infini pour seule singularité. On pose Cette fonction est croissante, d'après le principe du maximum, et en corollaire du théorème de Liouville, elle n'est pas bornée pour les fonctions entières non constantes. Elle est appelée module maximum de la fonction .
En conséquence de la convexité, admet une dérivée à droite et à gauche, et ces dérivées sont croissantes. Il existe une fonction croissante (mais pas nécessairement continue) telle que
Fonctions à croissance rapide
La borne peut croître arbitrairement vite avec . Plus précisément, soit une fonction croissante . Il existe une fonction entière telle que pour tout réel , est réel et strictement supérieur à , par exemple en choisissant de la forme : , où les forment une suite croissante d'entiers bien choisis ; on peut ainsi prendre et pour tout , .
Ce résultat est en fait un cas particulier du théorème d'approximation uniforme de CarlemanTorsten Carleman, Sur un théorème de Weierstrass. : soit une fonction continue à valeurs complexes définie sur R, E : R → une fonction continue ; il existe une fonction entière telle que, pour tout réel, on ait Voir, par exemple, , Approximation par des fonctions entières ..
L'ordre des fonctions entières Si pour une certaine valeur , on a
,alors la fonction est un polynôme de degré au plus égal à .
Lorsque l'égalité précédente n'a lieu pour aucune valeur de , on compare la croissance de à . Si l'on a, à partir d'une valeur de , l'inégalité
on dit que la fonction est d'ordre fini. L'ordre (supérieur) de croissance de est donné par la formule
On distingue, parmi les fonctions entières de même ordre , les fonctions de type défini par la formule
Selon la valeur de , on distingue le type minimal (), type exponentiel (), normal () ou maximal ().
On montre les résultats suivants :
.
Exemples
La fonction exponentielle est d'ordre 1 ainsi que les fonctions et .
La fonction de Mittag-Leffler est d'ordre . Il en est de même de la fonction de Lindelöf définie par .
Relation entre les coefficients et la croissance Si la fonction entière est telle que
et que
pour suffisamment grand, alors on a
pour suffisamment grand. Réciproquement, si l'on a
pour suffisamment grand, alors, pour tout ,
pour suffisamment grand.
De ce résultat on déduit:
Le lemme de Borel-Carathéodory
On a vu que le maximum sur un cercle est en rapport avec les coefficients de la fonction développée en série entière. On peut se demander s'il en est de même, par exemple, avec seulement la partie réelle de la fonction. Ce lien est fourni de manière générale par le lemme de Borel-Carathéodory, qui donne de plus une estimation concernant les dérivées :
L'ordre de la dérivée d'une fonction entière
La dérivée d'une fonction entière est obtenue par dérivation formelle de sa série entière. En appliquant la formule de Cauchy-Hadamard, on voit que la dérivée d'une fonction entière est elle-même entière. La question de l'ordre de la dérivée se pose donc naturellement. Le calcul de l'ordre par la formule précédemment donnée montre que
Et, comme une fonction entière est indéfiniment dérivable, il en est de même de toutes ses dérivées.
Ordre inférieur et ordre précisé L Pour comparer plus finement la croissance des fonctions entières, on est amené à regarder l'ordre inférieur de croissance, défini par la quantité
On montre que
Mais cela ne suffit pas. On montre l'existence, pour une fonction entière d'ordre fini , d'une fonction ayant les propriétés suivantes : est définie et continue, dérivable à droite et à gauche en chaque point ;
. On a ainsi défini un ordre précisé L de .
Les fonctions entières à croissance régulière Dans ses études sur les fonctions entières, Émile Borel a défini les fonctions entières à croissance régulière en supposant que l'ordre de la fonction entière est
Il résulte de la définition que les ordres supérieur et inférieur sont égaux. C'est en ce sens que la fonction est à croissance régulière.
Factorisation des fonctions entières d'ordre fini Le théorème de factorisation de Weierstrass
Weierstrass a montré que pour toute fonction entière d'ordre fini et s'annulant sur les nombres complexes , il existe un polynôme de degré inférieur ou égal à , et un entier tels que l'on ait , avec . Le facteur correspond aux fonctions ayant un zéro d'ordre en 0.
Estimations sur le produit canonique Le théorème de Boutroux-Cartan énonce un résultat fréquemment utilisé dans les recherches sur les fonctions entières. Le problème est d'estimer le produit en dehors du voisinage des zéros. On suppose que l'on connaît .
Le terme maximum de la série de Taylor Soit une fonction entière. La série est une série décroissante à partir d'un certain rang et tendant vers 0, quel que soit . Il y a donc, pour chaque un terme supérieur ou égal à tous les autres. Soit la valeur de ce terme et soit le rang (le plus grand, s'ils sont plusieurs) de ce terme. est une fonction croissante de qui tend vers l'infini. D'après l'inégalité de Cauchy, on a .
Entre les fonctions , et existe une double inégalité:
et de cette double inégalité on déduit
On en déduit ensuite une relation sur :
De manière générale, on a la formule
La distribution des valeurs des fonctions entières Image d'une fonction entière Le petit théorème de Picard dit qu'une fonction entière non constante prend toutes les valeurs complexes sauf une au plus. Des résultats plus précis (concernant le nombre d'antécédents de module borné d'un complexe donné) dépendent de la vitesse de croissance de la fonction. Fonctions entières prenant des valeurs données