vignette|Johannes Kepler.
En astronomie, les lois de Kepler décrivent les propriétés principales du mouvement des planètes autour du Soleil. Par analogie, on nomme également lois de Kepler des lois analogues lorsqu'on peut décrire un mouvement en le ramenant à un problème à deux corps, comme dans le cas du mouvement des satellites autour d'une planète par exemple.
Ces lois portent le nom de l'astronome Johannes Kepler, qui les a établies de manière empirique à partir des observations et mesures de la position des planètes. Les deux premières ont été publiées en dans , puis la troisième en dans .
Suite à l'énoncé des lois de la gravitation par Isaac Newton, on a pu prouver que ces lois peuvent être comprises comme de simples conséquences de celles de Newton.
Contexte historique En , Kepler publie ses deux premières lois dans , puis la troisième en dans . Les orbites elliptiques, telles qu'énoncées dans ses deux premières lois, permettent d'expliquer la complexité du mouvement apparent des planètes dans le ciel sans recourir aux épicycles, excentriques et autres équants (ou substituts de celui-ci) des modèles copernicien et ptoléméen.
Johannes Kepler découvre ses lois grâce à un travail d'analyse considérable des observations astronomiques établies par Tycho Brahe, qui sont bien plus précises que celles déjà connues. Il s'appuie en particulier sur les positions de Mars, dont il étudie le mouvement dès 1600. Il est persuadé que le Soleil est, d'une façon ou d'une autre, le « véritable » centre du système solaire (pour les planètes extérieures comme Mars, Copernic utilise un point fictif voisin du Soleil comme centre d'un cercle sur lequel tourne à vitesse uniforme le centre d'un petit épicycle portant la planète). Guidé par cette conviction et après de longs errements, il finit par découvrir que le mouvement des planètes est elliptique, avec le Soleil placé en un foyer de l'ellipse. Ses résultats et la façon dont il y est parvenu sont consignés dans son ouvrage majeur, Astronomia nova, paru en 1609, mais de fait terminé fin 1605La parution en est retardée par les héritiers de Tycho Brahe dont Kepler utilise de façon décisive les observations ; ceux-ci lui réclament des droits et ne se sont pas satisfaits que Kepler ait rejeté le système géo-héliocentrique de l'astronome danois, d'après Owen Gingerich (1993), The Eye of Heaven, American Institute of Physic, introduction , et pour l'ensemble du paragraphe..
En , Isaac Newton découvre la loi de la gravitation qui lui permet d'expliquer les trois lois de Kepler en s'appuyant sur les travaux de Galilée, Kepler et Huygens.
Voltaire, dans ses Éléments de la philosophie de Newton de , a été le premier à appeler « lois » celles de Kepler. Lalande, dans son Abrégé d'astronomie de , semble avoir été le premier à énumérer et numéroter les trois lois de Kepler dans l'ordre selon lequel elles sont habituellement données aujourd'hui.
Énoncé des trois lois de Kepler
Première loi – Loi des orbites thumb|Schéma d'une orbite elliptique, l'excentricité étant très exagérée vis-à-vis de celles des planètes du système solaire.
La première loi de Kepler est dite « loi des orbites » ou « loi des ellipses ».
Plus généralement, les objets célestes gravitant autour du Soleil décrivent des trajectoires qui sont des coniques dont le Soleil est un foyer. Dans le cas des comètes, on peut en effet avoir aussi des trajectoires non-fermées, paraboliques ou hyperboliques.
Dans le référentiel héliocentrique, le Soleil occupe toujours l'un des deux foyers de la trajectoire elliptique des planètes qui gravitent autour de lui. À strictement parler, c'est le centre de masse qui occupe ce foyer ; la plus grande différence est atteinte avec Jupiter qui, du fait de sa masse importante, décale ce centre de masse de ; soit solaire — des déplacements plus importants peuvent être obtenus en cumulant les effets des planètes sur leur orbite.
Les ellipses que décrivent les centres de gravité des planètes sont quasi circulaires, ayant une faible ou très faible excentricité orbitale, les plus élevées étant celles de Mercure (≈ 0,2), suivie de celle de Mars (≈ 0,09). C'est cette dernière que Kepler a utilisée pour sa découverte de la première loi, et il est aidé en cela par la faiblesse de l'excentricité de l'orbite de la Terre (≈ 0,017) relativement à celle de Mars.. Les foyers sont eux bien distincts du centre de l'ellipse.
Deuxième loi – Loi des aires vignette|Loi des aires : chaque intervalle correspond à 5 % de la période.
La deuxième loi de Kepler est dite « loi des aires ».
Si est le Soleil et une position quelconque d'une planète, l'aire (de la surface) balayée par le segment entre deux positions et est égale à l'aire balayée par ce segment entre deux positions et si la durée qui sépare les positions et est égale à la durée qui sépare les positions et . La vitesse d'une planète devient donc plus grande lorsque la planète se rapproche du Soleil. Elle est maximale au voisinage du rayon le plus court (périhélie), et minimale au voisinage du rayon le plus grand (aphélie).
Algébriquement :
où : est la période de révolution de l'objet, est le demi grand axe et est le demi petit axe de la trajectoire elliptique.
De la loi des aires découle directement l'équation de Kepler qui permet de trouver l'aire parcourue en fonction de la position exacte d'une planète.
En effet la deuxième loi de Kepler implique que la planète accélère en approchant du Soleil et décélère en s'éloignant du Soleil. La vitesse n'est donc pas constante mais seulement la vitesse aréolaire (la planète balaie des aires égales en des intervalles de temps égaux) . C'est pourquoi à la planète n'a pas parcouru un angle de 90° mais a balayé une aire de .
L'équation est de la forme . Avec l'angle parcouru par une planète fictive ayant un mouvement circulaire uniforme de même période (connu sous le nom d'anomalie moyenne), l’excentricité et l'anomalie excentrique de l'ellipse. L'anomalie moyenne est proportionnelle à l'aire balayée de l'ellipse , étant le demi grand axe et le demi petit axe, et étant exprimée en radian.
Comme l'équation de Kepler est non linéaire (en ), le problème inverse qui revient à trouver l'angle de la planète en fonction de l'anomalie moyenne (et donc du temps), ne possède pas de résolution simple. Mais il existe une solution exacte sous forme de séries (sommes infinies) ainsi que des approximations obtenues par la méthode de Newton. En partant, par exemple, de on a :
Troisième loi – Loi des périodes
La troisième loi de Kepler est dite « loi des périodes » ou « loi harmonique ».
Les lois de la gravitation universelle énoncées par Isaac Newton permettent de déterminer cette constante en fonction de la constante gravitationnelle , de la masse du Soleil et de la masse de la planète gravitant autour du Soleil selon
soit, avec . Dans cette approximation, k est indépendante de la planète considérée.
En exprimant les distances en unités astronomiques et les périodes en années, on a alors , et la loi s'exprime simplement .
De cette troisième loi, appelée aussi « loi harmonique de Kepler » (car elle exprime un invariant à travers tout le système solaire, « donc » une certaine harmonie de celui-ci, le mouvement de toutes les planètes étant unifié en une loi universelle), on déduit qu'il existe un facteur constant entre la force exercée et la masse de la planète considérée, qui est la constante de gravitation universelle, ou constante gravitationnelle.
Cette formule, avec celles de l'ellipse, permet de calculer les différents paramètres d'une trajectoire elliptique à partir de très peu d'informations. En effet, Johann Lambert (1728 - 1777) montra que la connaissance de trois positions datées permettait de retrouver les paramètres du mouvementPour une discussion plus approfondie, voir Démonstration des lois de Kepler ; puis satellite, orbitographie..
Forme newtonienne de la troisième loi de Kepler
Isaac Newton comprit le lien entre les lois de la mécanique classique et la troisième loi de Kepler. Il en déduisit la formule suivante :
, plus souvent sous la forme
où : est la période de révolution de l'objet, est le demi grand axeEn fait dans le cas d'un problème à deux corps où on ne peut pas considérer comme négligeable la masse d'un des deux corps, le demi grand axe n'est plus celui de la trajectoire elliptique du corps le plus léger mais celui d'un corps fictif appelé mobile réduit et le centre n'est plus celui du corps le plus massif mais le centre de gravité des deux corps., est la constante de la gravitation universelle, est la masse de la planète, est la masse de l'étoile.
Dans le cas d'un système étoile/planète (ou Terre/satellite), la masse de la planète peut être négligée par rapport à la masse de l'étoile et devient le demi grand axe de la planète. On obtient alors :
Dans le cas simple d'un mouvement circulaire uniforme de période et de vitesse on peut démontrer la même formule avec le rayon à la place du demi grand axe . Le mouvement elliptique de la Terre par exemple a une excentricité très faible et il est très proche d'un mouvement circulaire uniforme. L'accélération de la force de gravité toujours dirigée vers le centre a une norme constante égale à . On peut la calculer aussi en dérivant le vecteur vitesse dont la norme est égale à , étant la vitesse angulaire. Comme le vecteur est tournant on trouve avec le repère de Frenet : . Or la vitesse est égale à la circonférence divisée par la période de révolution : ce qui donne : , ou .
On commence par établir la loi des aires :
Soit . On a . Donc . Soit l'aire balayée par le vecteur pendant et la variation de pendant le même temps. On a d'où . L'aire de l'ellipse valant , on en déduit que . De plus on a . Il en découle deux égalités : et . D'où après simplification : .
Quand ces lois s'appliquent-elles ?
Mouvement à force centrale
On peut démontrer que la planéité du mouvement, ainsi que la loi des aires, ou deuxième loi de Kepler, sont en fait vérifiées pour tout mouvement où un corps est soumis à une accélération dirigée vers un point fixe central. Les première et troisième lois ne s'appliquent cependant pas à tous ces mouvements à force centrale.
Problème à deux corps
Un exercice mathématique classique consiste à démontrer qu'on trouve les trois lois de Kepler pour un corps en mouvement à partir du moment où on admet que ce corps est soumis à une accélération inversement proportionnelle au carré de sa distance à un point fixe, et dirigée vers ce point (on parle d'accélération centrale en 1/r²). Puisqu'il s'agit d'un mouvement à force centrale la deuxième loi s'applique, mais pas seulement : pour un même corps placé dans différentes conditions initiales, la première et la troisième loi s'appliquent aussi, avec des coefficients dépendants du problème.
Les lois de Kepler peuvent s'appliquer pour un problème à deux corps, lorsque l'objet central n'a pas une masse prépondérante : dans ce cas général, l'approximation qui consiste à remplacer par n'est plus valable et le point central auquel se réfèrent les deux premières lois n'est plus le centre du corps le plus massif, mais le centre de masse (ou barycentre) des deux objets en interaction. En effet ces deux corps de masse et gravitent autour de ce point qui est le foyer de leur trajectoire elliptique. Ils se situent à l'opposée l'un de l'autre par rapport à ce point et leurs distances et à ce point suivent la relation : .
Le demi grand axe n'est pas non-plus celui du corps le plus léger mais celui d'un corps fictif de masse qui tourne autour du barycentre avec la même excentricité que les deux corps et la même période. C'est la masse réduite toujours inférieure aux masses des deux corps et . Soit le demi grand axe du corps de masse et le demi grand axe du corps de masse , leurs valeurs sont : , et . On a de cette manière deux homothéties de sens opposé et de centre le foyer des trois ellipses.
Cas de la gravitation