En mathématiques, et plus précisément en géométrie différentielle, l'holonomie d'une connexion sur une variété différentielle est une mesure de la façon dont le transport parallèle le long de boucles fermées modifie les informations géométriques transportées. Cette modification est une conséquence de la courbure de la connexion (ou plus généralement de sa "forme"). Pour des connexions plates, l'holonomie associée est un type de monodromie, et c'est dans ce cas une notion uniquement globale. Pour des connexions de courbure non nulle, l'holonomie a des aspects locaux et globaux non triviaux.
Toute connexion sur une variété donne naissance, grâce aux applications de transport parallèle, à une notion d'holonomie. Parmi les exemples importants, on trouve : l'holonomie de la connexion de Levi-Civita (appelée holonomie riemannienne), les holonomies des connexions des fibrés vectoriels, l'holonomie des , et l'holonomie des connexions des fibrés principaux. Dans chacun de ces cas, l'holonomie de la connexion peut s'identifier à un groupe de Lie, le groupe d'holonomie. L'holonomie d'une connexion est étroitement liée à sa courbure, par le théorème d'Ambrose-Singer. Exemples et définitions informelles vignette|Le transport parallèle sur une sphère dépend du chemin suivi. Le transport par A → N → B → A donne un vecteur distinct du vecteur initial. Cette différence est mesurée par l'holonomie de la connexion. Sur la figure ci-contre, on voit que le vecteur indiqué tourne de l'angle α lorsqu'on le déplace parallèlement le long du trajet ANBA. Dans ce déplacement, l'ensemble des vecteurs du plan tangent en A subit donc une rotation de α ; cette transformation (nécessairement une isométrie vectorielle) est ainsi associée au chemin fermé ANBA, qui est un lacet de la sphère. L'ensemble de toutes ces transformations (pour tous les lacets) forme un sous-groupe du groupe des isométries vectorielles du plan (il s'agit dans ce cas du groupe des rotations SO(2)), qu'on appelle le groupe d'holonomie de la sphère. Plus précisément, l'angle α associé ainsi à un lacet mesure (dans ce cas) la courbure de la surface qu'il délimite ; on le vérifie aisément pour un triangle sphérique, en remarquant qu'alors α est égal à la somme des angles du triangle moins π, ce qui, d'après la formule de Girard, est aussi égal à l'aire du triangle divisé par le carré du rayon de la sphère.
Dans le cas d'une surface sans courbure, les lacets contractiles correspondent à l'identité du plan tangent, mais l'holonomie n'est pas forcément triviale ; ainsi, sur un ruban de Möbius, le transport parallèle autour du ruban renverse l'orientation, ce qui correspond à une symétrie (vectorielle) ; le groupe d'holonomie est dans ce cas réduit à deux éléments.
En dimensions supérieures, les lacets ne découpent plus de régions, mais permettent encore de définir l'holonomie ; ainsi, si on considère la figure comme représentant un lacet de la 3-sphère, on vérifie que les vecteurs de l'espace (de ) tangent en A subissent une rotation d'angle α et d'axe le vecteur orthogonal aux deux vecteurs tangents aux arcs AN et AB; le groupe d'holonomie est alors dans ce cas le groupe des rotations SO(3).
Définitions rigoureuses
Holonomie d'une connexion d'un fibré vectoriel
Soit E un fibré vectoriel de rang k sur une variété différentielle M et soit ∇ une connexion sur E. Étant donné un lacet dérivable par morceaux γ : [0,1] → M avec γ(0) = γ(1) = x, la connexion définit une application de transport parallèle : . Cette application est un automorphisme de Ex, et donc définit un élément de GL(Ex). Le groupe d'holonomie de ∇ en x est défini par
Le groupe d'holonomie restreint en x est le sous-groupe correspondant aux lacets γ contractiles.
Si M est connexe, les groupes d'holonomie de deux points de base x et y sont isomorphes : si est un chemin de x vers y dans M, alors
Le choix d'une autre identification de Ex avec Rk donne un autre sous-groupe conjugué. Parfois, en particulier pour des discussions générales ou informelles (comme ci-dessous), on ne mentionne pas le point de base, la définition étant alors supposée faite à une conjugaison près.
Parmi les propriétés importantes du groupe d'holonomie, on a : Hol0(∇) est un sous-groupe de LieC'est-à-dire que l'inclusion canonique est une immersion. connexe de GL(k, R). Hol0(∇) est la composante connexe de l'identité (appelée aussi composante neutre) de Hol(∇). Il y a un morphisme de groupes surjectif naturel π1(M) → Hol(∇)/Hol0(∇), où π1(M) est le groupe fondamental de M, qui envoie la classe d'homotopie [γ] vers la classe Pγ·Hol0(∇). Si M est simplement connexe, alors Hol(∇) = Hol0(∇). ∇ est plate (de courbure nulle en tout point) si et seulement si Hol0(∇) est trivial.
Holonomie d'une connexion d'un fibré principal
La définition de l'holonomie d'une connexion sur un fibré principal est analogue à la précédente. Soit G un groupe de Lie et P un G-fibré principal au-dessus d'une variété différentielle paracompacte M. Soit ω une forme de connexion sur P. Étant donné un lacet dérivable par morceaux γ : [0,1] → M avec γ(0)= x, et un point p de la fibre au-dessus de x, la connexion définit un unique relèvement horizontal tel que . L'extrémité du relèvement ne sera pas en général p, mais un autre point p.g de la fibre. On définit une relation d'équivalence ~ sur P en disant que p~q s'ils peuvent être reliés par un chemin P horizontal et différentiable par morceaux.
Le groupe d'holonomie de ω (en p) est alors défini par
Le groupe d'holonomie restreint en p est le sous-groupe correspondant aux relèvements horizontaux de lacets γ contractiles.
Si M et P sont connexes, le groupe d'holonomie ne dépend du point de base p qu'à une conjugaison près (dans G). Plus précisément, si q est un autre point de base, il existe un g unique de G tel que q ~ p g, et alors :
En particulier,
De plus, si p~q, Holp(ω) = Holq(ω).
Comme précédemment, on omet parfois la référence au point de base, en raisonnant à une conjugaison près.
Parmi les propriétés importantes du groupe d'holonomie et du sous-groupe restreint, on a : Hol0p(ω) est un sous-groupe de Lie connexe de G. Hol0p(ω) est la composante connexe de l'identité de Holp(ω). Il y a un homomorphisme naturel de groupe, surjectif π1(M) → Holp(ω)/Hol0p(ω). Si M est simplement connexe, Holp(ω) = Hol0p(ω). ω est plate (de courbure nulle) si et seulement si Hol0p(ω) est trivial.
Fibrés d'holonomie
Soit M une variété différentielle connexe et paracompacte, et P un G-fibré principal avec une connexion ω, comme ci-dessus. Soit un point arbitraire du fibré. Notons H(p) l'ensemble des points de P qui peuvent être reliés à p par un chemin horizontal. On peut alors montrer que H(p), avec l'application de projection évidente, est un fibré principal au-dessus de M, de groupe structural Hol0p(ω). Ce fibré principal s'appelle le fibré d'holonomie (à travers p) de la connexion. La connexion ω se restreint à une connexion H(p), puisque les applications de transport parallèle conservent H(p). Ainsi, H(p) est un fibré réduit pour la connexion. De plus, puisque aucun sous-fibré H(p) n'est conservé par transport parallèle, c'est la réduction minimale de ce type et , , § II.7..
Comme pour les groupes d'holonomie, le fibré d'holonomie est transformé de manière uniforme par déplacement dans le fibré principal ambiant P. Plus précisément, si, est un autre point de base, il existe un unique tel que q ~ p g (puisque, par hypothèse, M est connexe par arcs). Ainsi H(q) = H(p) g. Par conséquent, les connexions induites correspondant à différents choix de points de base sont compatibles entre elles : leurs applications de transport parallèle ne diffèrent que de g.
Monodromie
Le fibré d'holonomie H(p) est un fibré principal pour Holp(ω), et admet donc également une action du groupe restreint d'holonomie Hol0p(ω) (qui est un sous-groupe normal du groupe d'holonomie complet). Le groupe discret Holp(ω)/Hol0p(ω) est appelé le groupe de monodromie de la connexion ; il agit sur le fibré quotient H(p)/Hol0p(ω). Il y a un homomorphisme surjectif φ : π1(M) → Holp(ω)/Hol0p(ω), tel que φ(π1(M)) agit sur H(p)/Hol0p(ω). Cette action du groupe fondamental s'appelle une représentation de monodromie du groupe fondamentalR.W.Sharpe, Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, §3.7..
Holonomie locale et infinitésimale
Si π:P→M est un fibré principal, et si ω est une connexion de P, l'holonomie de ω peut être restreinte à la fibre au-dessus d'un ouvert de M. Plus précisément, si U est un ouvert connexe de M, la restriction de ω est une connexion du fibré π-1U sur U. L'holonomie (respectivement l'holonomie restreinte) de ce fibré sera notée par Holp(ω, U) (respectivement Holp0(ω, U)) pour chaque p tel que π(p)∈U.
Si U⊂V sont deux ouverts contenant π(p), il y a une inclusion évidente
Le groupe local d'holonomie en un point p est défini par
pour toute famille d'ouverts connexes emboités, Uk, telle que .
Le groupe local d'holonomie a les propriétés suivantes : C'est un sous-groupe de Lie connexe du groupe restreint d'holonomie Holp0(ω). Chaque point p admet un voisinage V tel que Holp*(ω)=Holp0(ω,V). En particulier, le groupe local d'holonomie ne dépend que du point p, et non du choix de la famille Uk. L'holonomie locale est invariante par translation par les éléments du groupe structural G de P, c'est-à- dire que Holpg*(ω)=Ad(g-1)Holp*(ω) pour tous les g∈G (d'après la première propriété, le groupe d'holonomie local est un sous-groupe de Lie connexe de G, donc son adjoint est bien défini).
Le groupe local d'holonomie n'a pas de comportement global prévisible. En particulier, sa dimension peut ne pas être constante. Cependant, on a le résultat suivant : Si la dimension du groupe local d'holonomie est constante, les holonomies locales et restreintes coïncident : Holp*(ω)=Holp0(ω).
L’holonomie infinitésimale est l'algèbre de Lie du groupe d'holonomie restreinte.
Le théorème d'Ambrose-Singer
Le théorème d'Ambrose-Singer relie l'holonomie d'une connexion d'un fibré principal à la 2-forme de courbure de la connexion ; on peut le voir comme généralisant le cas familier d'une connexion affine (ou d'une connexion du fibré tangent — la connexion de Levi-Civita, par exemple), où la courbure provient du déplacement le long d'un parallélogramme infinitésimal.
Dans le détail, si σ : [0,1] × [0,1] → M est une surface de M paramétrée par un couple de variables x et y, un vecteur V peut être transporté le long de la frontière de σ : le long de (x,0), puis de (1,y), puis de (x,1) (dans le sens négatif), et enfin de (0,y), revenant à l'origine. C'est un cas particulier d'un lacet d'holonomie : l'élément du groupe d'holonomie correspondant au relèvement de la frontière de σ agit sur le vecteur V. La courbure intervient explicitement quand le parallélogramme tend vers 0, en traversant la frontière de parallélogrammes plus petits (sur [0,x] × [0,y]) ; cela revient à prendre la dérivée des applications de transport parallèle en x=y=0 :
où R est le tenseur de courbureM. Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry, Volume II, .. Ainsi, on peut dire en gros que la courbure donne l'holonomie infinitésimale sur une boucle fermée (le parallélogramme infinitésimal). Plus rigoureusement, la courbure est la différentielle de l'action de l'holonomie en l'identité du groupe d'holonomie ; en d'autres termes, R(X,Y) est un élément de l'algèbre de Lie de Holp(ω).
En général, considérons l'holonomie d'une connexion d'un fibré principal P → M au-dessus de P, avec G comme groupe structural. Notant g l'algèbre de Lie de G, la forme courbure de la connexion est une 2-forme Ω, à valeurs dans g sur P. Le théorème d'Ambrose-Singer affirme queS. Sternberg, Lectures on differential geometry, théorème VII.1.2. :