L'histoire du calcul infinitésimal remonte à l'Antiquité en ce qui concerne les techniques de calcul d'aires et de volumes. On retrouve chez des mathématiciens anciens les prémices de ce type de calcul : Archimède, Thābit ibn Qurra, Pierre de Fermat et Isaac Barrow notamment. Cependant leurs procédés de calcul étaient difficiles et longs, surtout chez les anciens. D'autre part l'expression « calcul infinitésimal » tend à confondre deux aspects, le calcul des tangentes ou dérivées qui est la partie proprement infinitésimale, et d'autre part l'intégration ou algorithme différentio-intégral, particulièrement efficace lorsque l'on conçoit les choses comme des unités faites d'éléments plus petits.
Blaise Pascal, dans la première moitié du , a le premier mené des études sur la notion de tangente à une courbe – lui-même les appelait « touchantes ». Le domaine mathématique de l'analyse numérique connait dans la seconde moitié du une avancée prodigieuse, grâce aux travaux d'Isaac Newton et de Gottfried Wilhelm Leibniz en matière de calcul différentiel et intégral, traitant notamment de la notion d'infiniment petit et de son rapport avec les sommes dites intégrales. Cette période voit la naissance d'une polémique entre ces deux mathématiciens concernant la paternité de la découverte.
La notion de nombre dérivé a vu le jour au dans les écrits de Leibniz et de Newton qui le nomme fluxion et qui le définit comme « le quotient ultime de deux accroissements évanescents ».
Le marquis de l'Hospital contribue à diffuser le calcul différentiel de Leibniz à la fin du grâce à son livre sur l'analyse des infiniment petits.
John Wallis, mathématicien anglais (surtout connu pour la suite d'intégrales qui portent son nom), contribue également à l'essor de l'analyse différentielle.
Néanmoins cette théorie tout juste éclose n'est pas encore, à l'époque, pourvue de toute la rigueur mathématique qu'elle aurait exigée, et notamment la notion d'infiniment petit introduite par Newton, qui tient plus de l'intuitif, et qui pourrait engendrer des erreurs dès lors que l'on ne s'entend pas bien sur ce qui est ou non négligeable. C'est au que d'Alembert introduit la définition plus rigoureuse du nombre dérivé en tant que limite du taux d'accroissement – sous une forme semblable à celle qui est utilisée et enseignée de nos jours. Cependant, à l'époque de d'Alembert, c'est la notion de limite qui pose un problème : n'est pas encore construit formellement (voir Construction des nombres réels). C'est seulement avec les travaux de Weierstrass au milieu du que le concept de dérivée sera entièrement formalisé.
C'est à Lagrange (fin du ) qu'est due la notation , dès lors usuelle, pour désigner le nombre dérivé de en . C'est aussi lui qui définit le nom de « dérivée » pour désigner ce concept mathématique.
Précurseurs Antiquité La méthode d'exhaustion est connue d'Archimède ; à la suite de la découverte d'un palimpseste contenant le traité appelé La Méthode, on sait qu'il possédait également une forme rudimentaire d'intégration, reposant sur une variante du principe de Cavalieri.
Âge d'or de l'Islam Durant les , les mathématiciens arabes redécouvrent les techniques de calcul d'aire et de volume d'Archimède et développent des techniques nouvelles exploitant les transformations géométriques. Il s'agit d'une nouvelle école néo-archimédienne avec des mathématiciens échangeant et confrontant leurs méthodes.. Parmi ceux-ci, on peut citer Thābit ibn Qurra qui pour la première fois développe un calcul d'aire proche des sommes de Riemann avec découpage en tranches d'épaisseurs variables, p. 99..
Au , al-Biruni est amené à introduire la notion de vitesse instantanée et d'accélération. Cependant son travail est redécouvert trop tard pour avoir une influence sur le développement du calcul infinitésimal en Europe .. En ce qui concerne les calculs de dérivées et les recherches d'extremum, on peut citer une dérivation algébrique pour les fonctions polynomes chez Sharaf al-Dīn al-Tūsī à la fin du ..
Des notions sont élaborées en Inde, développées par l'école du Kerala.
En Europe, au , deux problèmes passionnent les mathématiciens : celui de la tangente et celui des quadratures. Le premier consiste à retrouver, à partir d’une courbe quelconque, les différentes tangentes à la courbe. Le second réside dans le calcul de l'aire engendrée par une courbe. Plusieurs méthodes furent mises au point : la méthode des indivisibles, la méthode de la normale de Descartes, la méthode d'adégalisation de Fermat. C'est cette dernière méthode qui fut systématisée par le langage du calcul infinitésimal.
Méthode des indivisibles
vignette|Statue de Bonaventura Cavalieri à Milan, sa ville natale En Italie, dès 1620, Cavalieri développe la méthode des indivisibles B. Cavalieri, Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota, 1635., poursuivie par Torricelli (1643), puis l'école de Padoue.
À la mort de Cavalieri en 1647, Pietro Mengoli prend sa succession pour 39 ans. Avec Stefano degli Angeli, il développe l'essentiel du calcul pour les séries (en particulier celle de ). Toute l'Europe accourt. En particulier, Gregory, élève de 1664 à 1668, ramènera en Angleterre la formule de Gregory-Leibniz.
Pascal de son côté, mène une réflexion approfondie, d'un point de vue philosophique, sur le concept d'infini ; son ouvrage, le Traité de la roulette, paraît en 1659. Wallis produit l Arithmetica Infinitorum (Oxford, 1655) et popularise le symbole , ainsi que l'infinitésimal . Barrow enseigne Newton à Cambridge en 1661. En 1634, Roberval donne la quadrature de la cycloïde, et la tangente.
Pierre de Fermat, 1636 vignette|Pierre de Fermat En 1636, Fermat livre une méthode générale de détermination des tangentesLes infiniment petits selon Fermat : prémisses de la notion de dérivée par J. Bair et V. Henry, sur bibnum., utilisant à cette fin la méthode d'adégalisation (mot emprunté à Diophante).
Celle-ci consiste à considérer l'équation , à ôter aux deux membres, à simplifier par e l'équation obtenue, puis à poser dans l'équation simplifiéePierre de Fermat (1601-1675), sur le site de l'académie de Bordeaux..
C'est-à-dire, en langage moderne, l'opération , opérant ainsi passage à la limite et dérivation, termes inventés postérieurement.
Fermat affirma « il est impossible de donner une méthode plus générale » et « cette méthode ne trompe jamais, et peut s’étendre à nombre de questions très belles ». Il donne plusieurs exemples d'applications (parabole, cycloïde, etc.).
Une importante controverse eut lieu avec Descartes qui avait lui-même publié ses propres méthodes de détermination des tangentes.
Le raisonnement de Fermat n’étant pas encore bien compris au milieu du , Huygens présenta à l’Académie des sciences, en 1667, une communication dans laquelle il expliquait la méthode du savant toulousain ; il y mentionnait que e est une « quantité infiniment petite », en utilisant pour la première fois, d’ailleurs, l'expression « infiniment petit »C. Huygens, Œuvres complètes, Martinus Nijhoff, La Haye, 1940, tome 20..
Leibniz rencontra Huygens à Paris en 1672 et Huygens fréquenta la Royal Society à partir de 1663.
Newton et Leibniz Isaac Newton, 1669 vignette|Isaac Newton (Godfrey Kneller, National Portrait Gallery, Londres, 1702) Newton est considéré comme l’un des fondateurs du calcul infinitésimal. S’inspirant de Descartes et Wallis dont il avait lu les écrits, il se pose en effet le problème des tangentes qu’il relie rapidement à celui de la quadrature. Cependant, il écrit peu sur ce sujet, seulement trois écrits, et n'en rend public rien de son vivantPréface de Buffon à sa traduction de La méthode des fluxions et des suites infinies de Newton, Paris, 1740 (en ligne)., sinon en 1693 un bref et parcimonieux aperçu de ses fluxionsNicolas Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques, Paris: Masson, 1984, , rendant difficile leur datation.
Dès 1669 I. Newton, De analysi per aequationes numero terminorum infinitas, manuscrit ., Newton, s’inspirant de Wallis et Barrow, relie le problème de la quadrature à celui des tangentes : la dérivée est la procédure inverse de l'intégration. Il s’intéresse aux variations infinitésimales des quantités mathématiques et l’aire engendrée par ces mouvements. Sa méthode la plus célèbre reste celle des fluxions. Très influencé par son travail de physicien, il considère les quantités mathématiques comme engendrées « par une augmentation continuelle » et les compare à l’espace engendré par les « corps en mouvement ». Dans le même esprit, il introduit le temps en tant que variable universelle et définit les fluxions et les fluentes. Les fluentes (...) sont des quantités « augmentées graduellement et indéfiniment », et les fluxions () « les vitesses dont les fluentes sont augmentées ». Il se pose le problème « Étant donné les relations entre les quantités fluentes, retrouver la relation entre leurs fluxions. ».
Voici par exemple la solution qu’il donne pour : Soit , un intervalle de temps infiniment petit. et seront les accroissements infiniment petits de x et y.
En remplaçant x et y par et
Puis en développant par la formule du binôme qu’il a démontrée :
Ensuite, il retranche et divise par .
Enfin, il néglige tous les termes contenant , et obtient : , qui rappelle la formule
L’intuition est correcte, mais manque de conviction. Newton voudrait se débarrasser des quantités infinitésimales qu’il n’arrive pas à baser sur des principes rigoureux. Dans sa méthode « des premières et dernières raisons », il se contentera des rapports entre fluxions, ce qui lui permettra d’éviter de « négliger » des termes, laissant le terme « s’évanouir » dans le rapport. Il se rapproche alors de notre notion actuelle de limite, comparant cela à l’idée de « vitesse instantanée » d’un corps. Non pas celle qu’il a avant d’arriver, ni celle qu’il a après, mais celle qu’il a au moment où il arrive. Dans Principia, il exprime ainsi sa pensée : « Les rapports ultimes dans lesquels les quantités disparaissent ne sont pas réellement des rapports de quantités ultimes, mais les limites vers lesquels les rapports de quantités, décroissant sans limite, s’en approchent toujours : et vers lesquels ils peuvent s’en approcher aussi près que l’on veut. » Il est surprenant de voir à quel point cette conception se rapproche de la définition même de la limite moderne : f(x) tend vers f(a) si étant donné ε positif quelconque, il existe α tel que :. Cependant, Newton ne généralise pas cette définition et sa notion de limite reste réservée aux rapports de fluxions, à ce qui se rapproche du calcul moderne de dérivées. Et même ainsi, il se trouve dans l’incapacité de fonder son calcul différentiel sur des bases rigoureuses. La notion de valeur infinitésimale est encore trop nouvelle et se trouve vivement critiquée, n’étant pour certains qu’un « fantôme de quantités disparues ».
D'autre part, si Newton sait lever les indéterminations dans le calcul des tangentes, que nous appelons calcul des dérivées, et s'il sait pratiquer l'opération inverse, il n'a nullement la théorie de l'intégration fondée sur la conception, commune à Leibniz et aux Benouilli, que les objets de la nature sont des intégrations d'éléments plus petits.
Gottfried Wilhelm Leibniz, 1674 vignette|Gottfried Wilhelm Leibniz Leibniz est considéré comme le deuxième créateur du calcul ; il va en améliorer la notation et l'exposé (1684) et, surtout, ajouter la théorie des intégrations conçue comme algorithme différencio-intégral (1686)Dans les Acta Eruditorum : 1684, Nova Methodus pro Maximis et Minimis sur les différentielles ; 1886, De geometria recondita... ( De la nouvelle Géometrie et de l'analyse des indivisibles et des infinis) sur l'intégration..