Un cadrado máxico é a disposición dunha serie de números enteiros nun cadrado ou matriz de xeito que a suma dos números por columnas, ringleiras e diagonais sexa a mesma, a constante máxica. Xeralmente os números empregados para cubri-las celas son consecutivos, de 1 a n², sendo n o número de columnas e ringleiras do cadrado máxico.
Introdución
Considerémo-la sucesión aritmética 1, 2, 3, 4 ... 36 (cadrado de orde 6), e dispoñámo-los números ordenadamente en dúas series dispostas en zigzag:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19
Resulta evidente que calquera par de números aliñados verticalmente suma o mesmo xa que a medida que nos desprazamos polas columnas, na ringleira superior engádese unha unidade, mentres que na ringleira inferior réstase. A suma é en tódolos casos a dos números extremos:
1 2 3 4 5 6 12 11 10 9 8 7 13 14 15 16 17 18 24 23 22 21 20 19 25 26 27 28 29 30 36 35 34 33 32 31 Se dispoñémo-lo conxunto de números en seis ringleiras (ver táboa á dereita):
Como doadamente se pode apreciar, as sumas nas distintas columnas han ser necesariamente iguais, xa que os números se atopan agrupados por pares tal e coma estaban no primeiro caso (compárese os pares de ringleiras 1ª-6ª, 2ª-5ª e 3ª-4ª coa disposición orixinal). Ora ben, por ser tres os pares de ringleiras (n/2), a suma será:
cantidade que se denomina constante máxica, e que neste caso é n×(n² + 1)/2 = 6×(36 + 1)/2 = 111.
{| align="center" width="500px;" border="1" |----- align="center" | Orde n || 3 || 4 || 5 || 6 | 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 |----- align="center" M2 (n) | 15 || 34 || 65 || 111 || 175 || 260 || 369 || 505 | 671 || 870 || 1105
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
Salta á vista que o cadro anterior non é un cadrado máxico, xa que ó se dispoñe-los números de xeito consecutivo, as sumas das cifras de cada ringleira son cada vez maiores. Porén atopamos seis series de números comprendidos entre 1 e 36, de xeito que, sen se repetir ningún, as sumas das series son a constante máxica. Se en vez da disposición anterior situámo-los números consecutivamente, obtemos unha disposición na que os números da diagonal principal se poden escribir da forma (a-1)×n + a.
Calculando a suma, sabendo que as ringleiras a van de 1 a n:
De novo a constante máxica. Máis aínda, calquera serie de seis valores nos que non haxa dous da mesma ringleira ou columna sumará a constante máxica. Escribindo o termo i, j da matriz coma (i-1)×n + j, e tomando 6 termos calquera coa condición de que nin i, nin j se repitan e varíen de 1 ata n, a ecuación resultante será exactamente a mesma que no caso anterior e a suma, polo tanto, a constante máxica.
Como se pode demostrar, a cantidade de series posibles de n números que cumpran a condición anterior é n!, 720 en cadrados de orde 6, e nin sequera son tódalas posibles, xa que antes obtiveramos seis que non están incluídas entre elas. En definitiva, sendo posible construír (n²)! matrices nas que ningún termo se repita e existindo polo menos n! (en realidade moitas máis) combinacións de números que sumen a constante máxica, compréndese intuitivamente que o que sería de maxia é que con tal multitude de posibilidades fose imposible construír cadrados máxicos.
De orde 3 existe un único cadrado máxico (as distintas variacións pódense obter por rotación ou reflexión), en 1693 Bernard Frenicle de Bessy estableceu que hai 880 cadrados máxicos de orde 4 , posteriormente atopáronse 275 305 224 cadrados máxicos de orde 5; o número de cadrados de maior orde descoñécese aínda pero segundo estimacións de Klaus Pinn e C. Wieczerkowski realizadas en 1998 mediante os métodos de Monte Carlo e de mecánica estatística existen (1,7745 ± 0,0016) × 1019 cadrados de orde 6 e (3,7982 ± 0,0004) × 1034 cadrados de orde 7.
Polo que respecta a ordes inferiores, é evidente que de orde un existe un único cadrado máxico, 1 , mentres que de orde 2 non existe ningún, o que se pode demostrar considerando o cadrado máxico a, b, c, d da figura; para que tal disposición fose un cadrado máxico deberíanse cumpri-las seguintes ecuacións (sendo M a constante máxica ou calquera cantidade, se se quere):
a b c da + b = M a + c = M a + d = M b + c = M b + d = M c + d = M escribindo o sistema de ecuacións lineais en forma matricial e buscando a orde da matriz de coeficientes, obtense que é tres, mentres que o número de incógnitas é catro, de xeito que o sistema só ten a solución trivial a =b=c=d= M/2 sendo imposible construír un cadrado máxico no que as catro cifras sexan distintas.
Ficheiro:Magic square Lo Shu.png The Astronomical Phenomena (Tien Yuan Fa Wei). Compilado por Bao Yunlong no século XIII,edición da Dinastía Ming, 1457-1463. Biblioteca do Congreso dos EE.UU.
Historia
4 9 2 3 5 7 8 1 6
Na antiga China xa se coñecían os cadrados máxicos dende o III milenio a.C, como testemuña o Lo Shu. Segundo a lenda, un certo día produciuse o desbordamento dun río; a xente, temerosa, tentou facer unha ofrenda ó deus do río Lo (un dos desbordados) para amansa-la súa ira. Non obstante, cada vez que o facían, aparecía unha tartaruga que roldaba a ofrenda sen aceptala, ata que un rapaz se decatou das peculiares marcas da cuncha da tartaruga, deste xeito puideron incluír na súa ofrenda a cantidade pedida (15), quedando o deus satisfeito e volvendo as augas á súa canle.
Igualmente coñeceron combinacións desta clase os indios, exipcios, árabes e gregos. A tales cadrados, as diferentes culturas atribuíronlles propiedades astrolóxicas e divinatorias portentosas gravándose con frecuencia en talismáns. Así, como recolle Cornelius Agrippa en De oculta philosophia libri tres (1533), o cadrado de orde 3 (15) estaba consagrado a Saturno, o de 4 (34) a Xúpiter, o de 5 (65) a Marte, o de 6 (111) ó Sol, o de 7 (175) a Venus, o de 8 (260) a Mercurio e o de 9 (369) á Lúa; idéntica atribución pódese atopar na astroloxía hindú.
A introdución dos cadrados máxicos en occidente atribúese a Emanuel Moschopoulos en torno ó século XIV, autor dun manuscrito no que se explican por vez primeira algúns métodos para construílos. Con posterioridade, o estudo das súas propiedades, xa con carácter científico, atraeu a atención de grandes matemáticos que dedicaron ó asunto obras diversas malia a manifesta inutilidade práctica dos cadrados máxicos. Entre eles cabe citar a Stifel, Fermat, Pascal, Leibnitz, Frenicle, Bachet, La Hire, Saurin, Euler, ... diríase que ningún matemático ilustre puido escapar do seu feitizo.
233px|miniatura|dereita|Melancolía, gravado de Durero; o cadrado máxico aparece na esquina superior dereita.
O cadrado máxico de Durero
16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1
O cadrado máxico de Durero, tallado na súa obra Melancolía está considerado o primeiro das artes europeas. No cadrado de orde catro obtense a constante máxica (34) en ringleiras, columnas, diagonais principais, e nas catro submatrices de orde 2 nas que se pode dividi-lo cadrado, sumando os números das esquinas, os catro números centrais, os dous números centrais das ringleiras (ou columnas) primeira e última etc. e sendo as dúas cifras centrais da última ringleira 1514 o ano de execución da obra.
Algunhas disposicións particulares no cadrado máxico de Durero que suman a constante máxica.
16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1
300px|miniatura|dereita|Fachada da Sagrada Familia
O cadrado máxico da Sagrada Familia
A Fachada da Paixón da igrexa da Sagrada Familia en Barcelona, deseñada polo escultor Josep Subirachs, amosa un cadrado máxico de orde 4.
A constante máxica do cadrado é 33, a idade de Xesucristo na Paixón. Tamén se atribuíu a escolla deste número coma unha velada alusión á suposta adscrición masónica, que nunca foi demostrada, de Antonio Gaudí, xa que 33 son os graos tradicionais da masonería. Estruturalmente, é moi similar ó cadrado máxico de Melancolía, pero dous dos números do cadrado (o 12 e o 16) están diminuídos en dúas unidades (10 e 14) polo que aparecen repeticións. Isto permite rebaixa-la constante máxica en 1.
Construción de cadrados máxicos
Hai numerosos xeitos de construír cadrados máxicos, pero as máis sinxelas consisten en seguir certas configuracións ou fórmulas que xeran patróns regulares. Ademais pódense impor condicións adicionais ó cadrado, obténdose cadrados bimáxicos, trimáxicos etc. Analogamente pódense construír círculos, polígonos e cubos máxicos.
Non existe un método xeral para construír cadrados máxicos de calquera orde, sendo necesario distinguir entre os de orde impar, os de orde múltiplo de 4 e o resto de orde par (4×m + 2).
Cadrados máxicos de orde impar (I)
Estes cadrados pódense xerar segundo o método publicado en 1691 por Simon de la Loubere, chamado ás veces método siamés, país no que desempeñou o cargo de embaixador de Lois XIV, método xa coñecido polos astrólogos orientais. Comezando na cela central da primeira ringleira co primeiro número, cóbrese a diagonal crebada cos seguintes en sentido NO (ou NE). Completada a primeira diagonal descéndese unha posición e cóbrese a segunda no mesmo sentido que a anterior, repetíndose o paso anterior co resto de diagonais ata completa-lo cadrado.
Ficheiro:Cuadrado Mágico Impar.png
Obviamente, poderíase comezar en calquera das celas centrais das ringleiras ou columnas do contorno, sendo en cada caso a dirección das diagonais cara a fóra do cadrado e o sentido do desprazamento unha vez finalizada cada diagonal o dado pola posición relativa do centro do cadrado respecto da cela inicial.
Resulta evidente que comezando por calquera outra cela as sumas das ringleiras e columnas será a constante máxica, xa que a posición relativa das cifras será a mesma que no caso anterior; non obstante, na diagonal paralela á dirección de cubrido non se cumprirá esta condición (si na outra). De feito, a particular elección da cela inicial responde á necesidade de que na diagonal paralela á dirección de cubrido se sitúen consecutivamente os cinco números centrais da serie xa que calquera dos outros cinco números consecutivos non sumarán a constante máxica.
Cadrados máxicos de orde impar (II)
Paso 1: Escríbense os números do 1 ó n². Escríbese o 1 na cela superior do rombo e seguirase de forma oblicua como se ve neste exemplo. O cadrado máxico será un cadrado inscrito no rombo que formamos.
1 6 2 11 7 3 16 12 8 4 21 17 13 9 5 22 18 14 10 23 19 15 24 20 25
Paso 2: Trasladámo-los números das esquinas do rombo ás celas baleiras que hai no lado oposto do cadrado.
1 6 2 11 24 7 20 3 16 4 12 25 8 16 4 21 17 5 13 21 9 5 22 10 18 1 14 22 10 23 6 19 2 15 24 20 25
Paso 3: Quitámo-las esquinas do rombo: xa temos un cadrado máxico de orde impar.
11 24 7 20 3 4 12 25 8 16 17 5 13 21 9 10 18 1 14 22 23 6 19 2 15
Cadrados máxicos de orde múltiplo de 4
Constrúese un cadrado cos números dispostos consecutivamente (véxase o segundo cadrado de orde seis da introdución), disposición na que como sabemos, as sumas das diagonais son a constante máxica. Unha vez feito isto, e conservando a submatriz central de orde n/2 e as catro submatrices de esquina de orde n/4 os números restantes xíranse 180º respecto do centro do cadrado, ou se se prefire vólvense situar en orde decrecente (en ámbolos dous casos o resultado é o mesmo).
Ficheiro:Cuadrado Mágico Parmente par.png
Partindo da mesma disposición e escollendo patróns simétricos similares das cifras a conservar pódense construír cadrados máxicos diferentes ó obtido antes, coma o seguinte:
Ficheiro:Cuadrado_Mágico_Parmente_par2.png