miniatura|300px|Diagrama que representa tres sucesións de termo xeral 1(rn−1) ata 6 iteracións. O primeiro bloque é unha unidade e a liña é a suma infinita da sucesión: 2, 3/2 e 4/3 En matemáticas, unha progresión xeométrica é unha sucesión de números onde cada termo despois do primeiro atópase multiplicando o anterior por un número fixo diferente de cero denominado razón. Por exemplo, a sucesión 2, 6, 18, 54, ... é unha progresión xeométrica de razón 3. Analogamente 10, 5, 2.5, 1.25, ... é unha progresión xeométrica de razón 1/2.

Exemplos de sucesións xeométricas son as potencias rk dun número determinado r, como 2k e 3k. A forma xeral dunha sucesión xeométrica é

onde r ≠ 0 é a razón e a é o factor de escala, igual ao primeiro valor da sucesión.

Propiedades elementais O termo n-ésimo dunha progresión xeométrica con valor a e razón r vén dado por

Unha progresión xeométrica segue a relación recursiva for every integer

En xeral, para comprobar se unha sucesión é xeométrica, abonda con comprobar se cada un dos termos consecutivos teñen a mesma razón.

A razón dunha progresión xeométrica pode ser negativa, dando lugar a unha sucesión alternada, con números positivos e negativos alternativamente. Por exemplo 1, −3, 9, −27, 81, −243, … é unha progresión xeométrica de razón −3.

O comportamento dunha progresión xeométrica depende do valor da razón. Se esta é: Positiva, os termos terán o mesmo signo que o inicial. Negativa, os termos terán signos alternos. Maior que 1, terá crecemento exponencial cara a máis ou menos infinito, dependendo do signo do primeiro termo. 1, a progresión será unha sucesión constante. Entre -1 e 1, pero non cero, sufrirá decrecemento exponencial cara ao cero. −1, a progresión será unha sucesión alternada. Menor que -1, os valores absolutos dos termos crecerán exponencialmente cara ao infinito.

As progresión xeométricas (con razón diferente a −1, 1 ou 0) amosan crecemento o decrecemento exponencial, en oposición ao crecemento ou decrecemento linear dunha progresión aritmética como 4, 15, 26, 37, 48, … (con diferenza 11). Este resultado foi tomado por T.R. Malthus como fundamento matemático da súa obra Principle of Population.

Un resultado interesante das progresións xeométricas é que para cada valor da razón común, tres termos consecutivos a, b e c satisfarán a ecuación

onde b se considera a media xeométrica entre a e c.

Series xeométricas 2 + 10 + 50 + 250 = 312 − ( 10 + 50 + 250 + 1250 = 5 × 312 ) 2 − 1250 = (1 − 5) × 312 Cálculo da suma 2 + 10 + 50 + 250. A sucesión consiste en multiplicar termo a termo por 5, e logo subtraer da sucesión orixinal. Permanencen dous termos: o primeiro termo, a, e o termo seguinte ao último, arm. O resultado desexado, 312, atópase subtraendo estes dous termos e dividindo por 1 − 5. Unha serie xeométrica é a suma dos termos dunha progresión xeométrica. Por exemplo:

Se a é o primeiro termo (neste caso 2), n o número de termos (aquí 4) e r a constante pola que se multiplica cada termo para atopar o seguinte (aquí 5), a suma vén dada por:

No exemplo anterior, resulta:

A fórmula funciona para calquera números reais a e r (agás r = 1, que resulta nunha división entre cero). Por exemplo:

Obtención da fórmula Para obter a fórmula escríbese primeiro unha serie xeométrica como:

Pódese atopar unha fórmula máis simple para a suma multiplicando ambos os membros da ecuación superior por 1 − r, e verase que

posto que todos os outros termos se cancelan. Se r ≠ 1, pódese reordenar a expresión superior para conseguir a fórmula conveniente dunha serie xeométrica que calcule a suma de n termos:

Fórmulas relacionadas Se a suma non comezase en k=1, senón nun índice diferente m, entón

Derivando esta fórmula respecto de r pódese chegar ás fórmulas das dumas da forma

Por exemplo:

Para series xeométricas que conteñen só potencias de r multiplicadas por 1 − r2  :

Entón

Equivalentemente, tomando r2  como a razón e empregando a formulación estándar.

Para unha serie que só ten potencias impares de r

e

Series xeométricas infinitas Unha serie xeométrica infinita é unha serie infinita con termos consecutivos que teñen unha razón común. Estas series converxen se e só se o valor absoluto da razón é menor que 1 ( < 1). O valor pode ser calculado coas fórmulas

miniatura|350px|Diagrama que amosa a serie xeométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ que converxe a 2. Dado que:

Entón:

Para unha serie que contén só potencias pares de ,

e se só contén potencias impares,

Nos casos nos que a suma non comeza en k = 0,

As fórmulas dadas arriba só son válidas para  < 1. A última fórmula é válida en toda álxebra de Banach, cando a norma de r sexa menor ca 1, e tamén no corpo dos números p-ádicos p < 1. No caso dunha suma finita pódese diferenciar para calcular as fórmulas das sumas relativas. Por exemplo,

Esta fórmula só funciona para  < 1. De aquí séguese que, para  < 1,

Tamén a serie infinita 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ é un exemplo elemental dunha serie que converxe absolutamente.

É unha serie xeométrica con primeiro termo igual a 1/2 e razón 1/2, logo a súa suma é

A serie 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ é un exemplo sinxelo dunha serie alternada que converxe absolutamente.

É unha serie xeométrica con primeiro termo e razón −1/2, polo que a súa suma é

Número complexos A fórmula da suma de series xeométricas é válida mesmo cando a razón é un número complexo. Neste caso a condición de que o valor absoluto de r sexa menor que 1 convértese en que o módulo de r sexa menor que 1. É posible calcular as sumas dalgunhas series xeométricas non obvias. Por exemplo, considérese a proposición

A demostración procede do feito de que

que é consecuencia da fórmula de Euler. Substituíndo na serie orixinal .

Esta é a diferenza entre dúas series xeométricas, e é unha aplicación directa da fórmula das series infinitas xeométricas que completa a demostración.

Produto O produto dunha progresión xeométrica é o produto dos seus termos. Se todos os termos son positivos entón pode calcularse rapidamente tomando a media xeométrica do primeiro e do último termo da progresión e elevando o valor á potencia dada polo número de termos: (if ).

Demostración:

Sexa P o produto: .

Realizando as multiplicacións, conclúese que .

Aplicando a suma dunha serie aritmética, a expresión resultará . .

Elevando ao cadrado ambos os membros: .

Consecuentemente, , e por tanto, , que conclúe a demostración.

Relación entre as progresións xeométricas e a obra de Euclides Os libros VIII e IX dos Elementos de Euclides analizan as progresións xeométricas e dan varios exemplos das súas propiedades.

Notas

Véxase tamén Bibliografía Hall & Knight, Higher Algebra, p. 39, ISBN 81-8116-000-2 Outros artigos Progresión aritmética Ligazóns externas Derivation of formulas for sum of finite and infinite geometric progression at Mathalino.com Geometric Progression Calculator Nice Proof of a Geometric Progression Sum at sputsoft.com

Categoría:Aritmética Categoría:Serie matemática