dereita|miniatura|O polinomio x2 + cx + d, onde a + b = c e ab = d, pode ser factorizado en (x + a)(x + b). En matemáticas, a factorización consiste en escribir un número ou outro obxecto matemático como produto de varios factores, normalmente obxectos máis pequenos ou máis sinxelos do mesmo tipo. Por exemplo, é unha factorización do enteiro , e é unha factorización do polinomio .
A factorización non se adoita considerar en tanto a estar a traballar dentro de sistemas de números que posúen división, como os números reais ou complexos, xa que calquera pode ser trivialmente escrito como se non é cero ou unha unidade. Con todo, pódense obter factorizacións que teñan un significado claro, por exemplo se se escribe un número racional ou unha función racional en termos máis pequenos e separando os factores do numerador e o denominador.
Nas matemáticas da Antiga Grecia, a factorización soamente se consideraba no caso dos enteiros. Daquela probouse o teorema fundamental da aritmética, que afirma que todos os enteiros positivos poden ser descompostos nun produto de números primos, que non poden ser factorizados en enteiros maiores ca 1. Ademais, esta factorización é única a menos de cambios da orde dos factores. Malia que a factorización de enteiros case semella o contrario á multiplicación, é moito máis difícil algoritmicamente e neste feito baséase o sistema criptográfico RSA para pór en funcionamento unha criptografía de chave pública.
A factorización de polinomios tamén foi estudada ao longo dos séculos. En álxebra xeral, factorizar un polinomio é reducir o problema de atopar as súas raíces a atopar as raíces dos factores. No caso dos polinomios con coeficientes enteiros ou pertencentes a un corpo, estes posúen a propiedade da factorización única, unha versión do teorema fundamental da aritmética na que os polinomios irredutíbeis substituíron os números primos. En particular, un polinomio dunha variable cos coeficientes complexos admite unha única (sen ter en conta a orde) factorización en polinomios lineares: isto é unha versión do teorema fundamental da álxebra. Neste caso, a factorización pode ser feita cos algoritmos de atopar raíces.
Un anel conmutativo que posúe a propiedade de factorización única é chamado dominio de factorización única. Malia de existir aneis de enteiros alxébricos que non son un dominios de factorización única, estes satisfán a propiedade máis débil de dominios de Dedekind: factorización única de ideais en ideais primos.
O termo factorización tamén fai referencia a descomposicións máis xerais dun obxecto matemático no produto de obxectos máis pequenos ou máis sinxelos. Por exemplo, cada función pode ser factorizada como unha composición dunha función sobrexectiva cunha función inxectiva. As matrices posúen moitas clases de factorizacións. Por exemplo, cada matriz ten unha única factorización LUP como produto dunha matriz triangular inferior L, con tódalas entradas diagonais iguais a un, unha matriz triangular superior U, e unha matriz permutación P, e esta é unha formulación de matriz de eliminación de Gauss.
Enteiros
Polo teorema fundamental da aritmética, todo enteiro maior que 1 ten unha única (a menos cambios da orde) factorización en números primos, que son os enteiros que non poden ser factorizados no produto de enteiros maiores que 1.
Para calcular a factorización dun enteiro n, precísase dun algoritmo para atopar un divisor q de n ou que n é primo, e polo tanto non existe q. De atoparen o divisor q, obteríanse dous factores de n, e q, nos que, ao aplicárenlles este algoritmo repetidamente, conséguese a factorización completa de n.
Para atopar un divisor q de n, se ten algún, abonda con probar todos os valores q tal que e . Chega con probar só con estes porque se r é un divisor de n tal que , entón é un divisor de n tal que , e xa tería sido atopado.
Ao procurar divisores en orde crecente, o primeiro divisor que sexa atopado ten que ser necesariamente un número primo, e o cofactor r = n / q non pode ter ningún divisor menor que q. Para conseguir a factorización completa, abondará con continuar o algoritmo na procura dun divisor de r que nin é máis pequeno que q, nin é máis grande que .
Non é preciso probar tódolos valores de q para aplicar o método, pois chega con probar con todos os primos divisores. Mais isto xa precisa dunha táboa de números primos como, por exemplo, a xerada mediante a criba de Eratóstenes. Como método de factorización fai esencialmente o mesmo traballo que a criba de Eratosthenes, en xeral é máis eficiente de probar como divisor só aqueles números que non é evidente se son primos ou non. Tipicamente, procedendo por probar con 2, 3, 5, e os números maiores a 5, cuxo último díxito é 1, 3, 7, 9 e coa suma dos díxitos non múltiplo de 3.
Este método funciona ben para a factorización de números enteiros pequenos, mais é ineficiente para enteiros máis grandes. Por exemplo, Pierre de Fermat non foi quen de descubrir que o sexto número de Fermat
non é un número primo. De feito, a aplicación do método anterior precisaría máis de 10 000 divisións, ao ter o número 10 díxitos.
Na actualidade coñécense algoritmos de factorización máis eficientes, mais fican relativamente ineficientes ao tentar factorizar un número de 500 díxitos, que é o produto de dous primos escollidos ao chou, incluso cos ordenadores máis potentes. Isto é o que asegura a seguranza do sistema criptográfico RSA, que é amplamente utilizado para comunicación segura en Internet.
Exemplo Farase un exemplo da factorización de en primos:
Comézase dividindo por 2: o número é par, e . Continúase con 693, e 2 como primeiro divisor candidato. 693 é impar (2 non é divisor), mais é un múltiplo de 3: e . Continúase con 231, e 3 como primeiro divisor candidato. , é tamén un múltiplo de 3: temos , por isto . Continúase con 77, e 3 como primeiro divisor candidato. 77 non é un múltiplo de 3 porque a suma dos seus díxitos é 14, que non é un múltiplo de 3. Tampouco é un múltiplo de 5, pois o seu último díxito é 7. O próximo divisor a probar é 7. Temos que , e entón . Isto amosa que 7 é primo (cousa fácil de probar directamente). Continúase con 11, e 7 como primeiro divisor candidato. Como , remata; 11 é primo, e a factorización en primos é .
Expresións A manipulación de expresións está na base da álxebra, e a factorización é un dos métodos máis importantes. Por exemplo, ao poñer unha ecuación na forma factorizada , a resolución do problema divídese nos dous problemas independentes (a miúdo tamén máis sinxelos) e . Cando unha expresión pode ser factorizada, os factores son a miúdo moito máis sinxelos e poden ofrecer unha mellor visión do problema. Por exemplo,
que ten 16 multiplicacións, 4 subtraccións e 3 adicións, pode ser factorizada á expresión
que só ten dúas multiplicacións e tres subtraccións. Ademais, a forma factorizada amosa con claridade as raíces x = a,b,c do polinomio en x representado por esta expresión.
Doutra banda, a factorización non é sempre posíbel, ou cando é posíbel, os factores non son sempre máis sinxelos. Por exemplo, pode ser factorizado en dous factores irredutíbeis: e .
A solución de ecuacións alxébricas pode pensarse como un problema de factorización e, de feito, o teorema fundamental da álxebra pode ser enunciado cun carácter de factorización: todo polinomio de grao cos coeficientes complexos factoriza en factores lineais , para , onde os son as raíces do polinomio. Aínda que a estrutura da factorización é coñecida nestes casos, os xeralmente non se poden calcular en termos de radicais (raíces n-ésimas), polo teorema de Abel-Ruffini. Na maioría destes casos, o único que se pode facer é calcular unha aproximación da raíz con algún algoritmo para encontrar raíces.
Historia da factorización de expresións O uso sistemático de manipulacións alxébricas para simplificar expresións (máis especificamente ecuacións) rexístrase até o século IX, co libro Libro Compendio sobre Cálculo por Restauración e Balanceamento de Al-Khwarizmi, titulado con dous tipos de manipulación. Con todo, mesmo para solucionar ecuacións cadráticas, a factorización non se utilizou até a publicación en 1631 do traballo de Thomas Harriot, dez anos após a súa morte.In .
No seu libro Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas, Harriot debuxou, nunha primeira sección, táboas para adición, subtracción, multiplicación e división de monomiais, binomiais, e trinomiais. Entón, nunha segunda sección, montou a ecuación , e mostrou que isto emparella a forma da multiplicación, xa proporcionada, sendo a factorización . Harriot, Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas
Métodos xerais Os métodos que son descritos abaixo aplícanse a calquera expresión que é unha suma, ou ben pode ser transformada nunha suma. Por tanto, acotío son usadas cos polinomios, mesmo tamén se poden aplicar cando os termos da suma non son monomios, senón que son produto de variábeis e constantes.
Factor común No caso de seren produtos todos os termos dunha suma e que algúns factores sexan comúns a tódolos termos, pola propiedade distributiva pódese factorizar este factor común. Tamén, de haber coeficientes enteiros, pódese sacar fóra o máximo común divisor destes coeficientes.
Por exemplo,
Xa que , que é máximo común divisor de e , e dividen tódolos termos.
Agrupación Ás veces, ao agruparmos os termos faise posíbel aplicar outros métodos para factorizar. Por exemplo, para factorizar
pódese remarcar que os dous primeiros termos comparten o factor común e os dous últimos termos o factor común . Así
Entón, agora os dous termos actuais comparten o factor común , que leva á factorización
En xeral, isto funciona para sumas de 4 termos que foron obtidas como o produto de dous binomiais. A pesar de non ser frecuentemente, este método tamén se pode empregar para exemplos máis complicados.
Sumando e restando termos Ás veces, algunha agrupación de termos deixa aparecer unha parte dun padrón recoñecíbel. Entón é útil de engadir termos para completar o padrón, e restarllos para non mudaren o valor da expresión.
Un uso típico disto é o método de "completar cadrados" para conseguir a fórmula de resolución dunha ecuación de segundo grao.
Outro exemplo é a factorización de . Se consideramos a raíz cadrada imaxinaria de , xeralmente denotada como , entón tense unha diferenza de cadrados que se pode transformar en suma por diferenza
Con todo, pódese tamén querer unha factorización con coeficientes de números reais. Sumando e restando e agrupando tres termos xuntos, un pode recoñecer o termo dun binomial
Coa suma e a resta de tamén se acada a factorización
Estas factorizacións non só traballan sobre os números complexos, mais tamén sobre calquera corpo onde sexan cadrados. Nun corpo finito, o produto de dous termos non cadrados é un termo cadrado, isto implica que o polinomio , que é irredutíbel sobre os enteiros, é reducíbel módulo calquera número primo. Por exemplo
xa que xa que xa que
Padróns recoñecíbeis Moitas identidades proporcionan igualdades entre unha suma e un produto. Os métodos anteriormente descritos poden ser utilizados para illar na expresión a parte da suma, para despois substituíla por un produto.
Nas seguintes identidades, o lado dereito será usado como padrón. Deste xeito, as variábeis e que aparecen nas identidades poden representar calquera subexpresión da expresión a factorizar.
Diferenza de dous cadrados
Por exemplo,
Diferenza/suma de dous cubos
miniatura|Unha representación visual da factorización dos cubos que utiliza volumes. Para unha suma de cubos, sinxelamente substitúese z=-y.
Diferenza de dúas potencias cuartas
Diferenza/suma de dúas potencias n-ésimas
Nas identidades seguintes, ao factorizar aparecen termos máis longos: Diferenza, expoñente par
Diferenza, expoñente par ou impar
Isto é un exemplo que amosa que un factor pode ter moitos máis termos que a suma que factoriza. Suma, expoñente impar