miniatura|Espiral áurea construída a partir da evolución dun rectángulo dourado. miniatura|As espirais áureas son autosimilares. A forma repítese indefinidamente cando se amplía. (Fractais) A espiral dourada (denominada tamén espiral áurea) é unha espiral logarítmica asociada ás propiedades xeométricas do rectángulo dourado.Steven L. Griffing, (2007), The Golden Section: An Ancient Egyptian and Grecian Proportion, Elsevier, New York, pág. 121-124 A razón de crecemento é Φ, é dicir a razón dourada ou número áureo. Aparece esta espiral representada en diversas figuras da natureza (plantas, galaxias espirais), así como na arte.
Desenvolvemento matemático A ecuación polar que describe a espiral dourada é a mesma que calquera outra espiral logarítmica, pero co factor de crecemento () igual Φ, isto é:
ou, da mesma forma
Sendo e a base do logaritmo natural, é unha constante real positiva e é tal que cando o ángulo θ é un ángulo recto:
Por tanto, atópase determinado por
O valor numérico de depende de se o ángulo θ é medido en graos ou radiáns; como pode tomar valores positivos ou negativos segundo o signo de θ o máis sinxelo é indicar o seu valor absoluto: dereita|miniatura|Unha espiral de Fibonacci aproxímase á espiral dourada cando se inscribe en cadrados cuxos lados responden á sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...
para θ en graos
para θ en radiáns
Unha fórmula alternativa para a espiral dourada obtense en:
onde a constante está determinada por:
para a espiral dourada os valores de son:
se θ se mide en graos sexaxesimais, e
se θ se mide en radiáns.
miniatura|370px|Espirais douradas verdadeiras e aproximadas: a espiral verde está formada por cuartos de circunferencias inscritas en cadrados; a espiral vermella é unha espiral dourada, un tipo particular de espiral logarítmica. Ao solaparse as dúas espirais, obtense a espiral amarela
Aproximacións á espiral dourada
Existen aproximacións á espiral dourada, que non son iguais. Este tipo de espirais, a miúdo confúndense coa espiral dourada. Un exemplo é a espiral de Fibonacci que resulta ser unha aproximación á espiral dourada.
Galería
Notas
Véxase tamén
Outros artigos
Número áureo
Ligazóns externas
Método de construción a partir dun cadrado Vídeo que apoia o uso da espiral áurea nas artes Vídeo que critica a espiral áurea como un mito no deseño gráfico
Categoría:Matemáticas Categoría:Xeometría