dereita|miniatura|300x300px|Función eta de Dirichlet no plano complexo. A cor nun punto codifica o valor de Cores fortes denotan valores próximos a cero e o ton codifica o valor do argumento. Nas matemáticas, na área da teoría analítica de números, a función eta de Dirichlet defínese como
onde ζ é a función zeta de Riemann. Tamén pode ser usada para definir a función zeta. Ten unha expresión en serie de Dirichlet, válida para todo número complexo s con parte real positiva, dado por
Aínda que esta é converxente só para s con parte real positiva, é sumable Abel para todo número complexo, o que permite definir a función eta como unha función completa, e mostra que a función zeta de Riemann é meromórfica cun polo simple en s = 1.
En forma equivalente, pódese definir
na rexión de parte real positiva. Isto dá por resultado a función eta como unha transformada de Mellin.
Hardy deu unha demostración simple da ecuación funcional para a función eta, que é
A partir disto, pódese obter tamén en forma directa a ecuación funcional da función eta, como así mesmo atopar outro modo de estender a definición de eta a todo o campo dos números complexos.
Método de Borwein Peter Borwein utilizou aproximacións baseadas nos polinomios de Chebyshov para desenvolver un método para avaliar en forma eficiente a función eta. Se
entón
onde o termo erro γn atópase acoutado por
onde .
Valores particulares Véxase tamén constante zeta
η(0) = 1⁄2, a suma de Abel da serie de Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·. η(−1) = 1⁄4, a suma de Abel de 1 - 2 + 3 - 4 + . . .. Para k enteiro > 1, se Bk é o k-esimo número de Bernoulli entón
Tamén:
, esta é serie harmónica alternada
A forma xeral para enteiros positivos pares é:
Notas
Borwein, P., An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function, Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29-34. Xavier Gourdon e Pascal Sebah, Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function, Numbers, constants and computation (2003) Borwein, P., http://www.cecm.sfu.ca/~pborwein/
Categoría:Funcións