miniatura|Un sistema dinámico corresponde a un tipo particular de ecuación, cuxas solucións son funcións. O comportamento límite é ás veces complexo. Nalgúns casos, caracterízase por unha curiosa figura xeométrica, denominada atractor estraño. Unha ecuación en matemáticas, é unha relación (xeralmente unha igualdade) que contén unha ou máis variables. Resolver a ecuación consiste en determinar os valores que a variable pode tomar para que a igualdade sexa verdadeira. A variable tamén se chama incógnita, e os valores para os que se verifica a igualdade chámanse solucións. A diferenza dunha identidade, unha ecuación é unha igualdade que non é necesariamente verdadeira para todos os valores posibles que pode tomar a variable.Glenn James i Robert C. James (editors). «Equació», a Mathematics dictionary, Van Nostrand, 1968, 3a edició (1a edició 1948), p. 131
Do mesmo xeito unha ecuación é toda igualdade entre dúas expresións matemáticas, denominadas membros e separadas polo signo igual, nas que aparecen elementos coñecidos e datos descoñecidos ou incógnitas, relacionados mediante operacións matemáticas. Os valores coñecidos poden ser números, coeficientes ou constantes, tamén variables e mesmo obxectos complexos como funcións ou vectores; os elementos descoñecidos poden estar determinados mediante outras ecuacións dun sistema ou algún outro procedemento de resolución de ecuacións. As incógnitas, representadas xeralmente por letras, constitúen os valores que se pretenden calcular (en ecuacións complexas, como sucede nas ecuacións diferenciais, no canto de valores numéricos poderían tratarse de elementos dun certo conxunto abstracto). Por exemplo, na ecucación alxébrica seguinte:
a variable representa a incógnita, mentres que o coeficiente 3 e os números 1 e 9 son constantes coñecidas. A igualdade formulada por unha ecuación será certa ou falsa dependendo dos valores numéricos que tomen as incógnitas; pódese afirmar entón que unha ecuación é unha igualdade condicional, na que só certos valores das variables (incógnitas) fana certa.
Chámase solución dunha ecuación a calquera valor individual de ditas variables que a satisfán. Para o caso dado, a solución (neste caso, única) é:
No caso de que todo valor posible da incógnita faga cumprir a igualdade, a expresión chámase identidade. Se no canto dunha igualdade se trata dunha desigualdade entre dúas expresións matemáticas, denomínase inecuación.
O símbolo «=», que aparece en cada ecuación, foi inventado en 1557 por Robert Recorde, ao considerar que non había nada máis igual que dúas líñas rectas paralelas da mesma lonxitude.
Unha ecuación escríbese como dúas expresións, conectadas por un signo igual ("="). As expresións nos dous lados do signo igual denomínanse "primeiro membro" ou "esquerdo" e "segundo membro" ou "dereito" da ecuación, aínda que se poden permutar. Con moita frecuencia supónse que o segundo membro da ecuación é cero. Isto non reduce a xeneralidade, pois se pode realizar simplemente restando de ambos membros o dereito.
Descrición Unha ecuación escríbese como dúas expresións, conectadas por un signo igual. ("="). As expresións a ambos os lados do signo igual denominanse "lado esquerdo" e "lado dereito" da ecuación. Moi a miúdo suponse que o lado dereito dunha ecuación é cero. Isto non reduce a xeneralidade, xa que se pode obter restando o lado dereito de ambos os lados.
O tipo máis común de ecuación é unha ecuación polinómica (tamén coñecida como «ecuación alxébrica»), na que ambos os lados son polinomios. Os lados dunha ecuación polinómica conteñen un ou máis termos. Por exemplo, a ecuación
ten o lado esquerdo , que ten catro termos, e o lado dereito , que consta dun só termo. Os nomes das variables suxiren que e son incógnitas, e que , , e son parámetros, pero isto normalmente determínase polo contexto (nalgúns contextos, pode ser un parámetro, ou , e poden ser variables ordinarias).
Unha ecuación é análoga a unha balanza na que se colocan pesos. Cando se colocan pesos iguais de algo (por exemplo, gran) nos dous pratos, os dous pesos fan que a balanza estea en equilibrio e dise que son iguais. Se se retira unha cantidade de gran dun dos pratos da balanza, débese retirar unha cantidade igual do outro prato para manter a balanza en equilibrio. En termos máis xerais, unha ecuación permanece equilibrada se se realiza a mesma operación en cada lado. Propiedades Dúas ecuacións ou dous sistemas de ecuacións son "equivalentes" se teñen o mesmo conxunto de solucións. As seguintes operacións transforman unha ecuación ou un sistema de ecuacións nun equivalente, sempre que as operacións teñan sentido para as expresións ás que se aplican: Sumar ou restar a mesma cantidade a ambos os dous lados dunha ecuación. Isto mostra que toda ecuación é equivalente a unha ecuación na que o lado dereito é cero. Multiplicar ou dividir ambos os lados dunha ecuación por unha cantidade distinta de cero. Aplicar unha identidade para transformar un lado da ecuación. Por exemplo, expandir (en) un produto ou factorizar unha suma. Para un sistema: sumar a ambos os dous lados dunha ecuación o lado correspondente doutra ecuación, multiplicado pola mesma cantidade.
Se se aplica algunha función a ambos os dous lados dunha ecuación, a ecuación resultante ten as solucións da ecuación inicial entre as súas solucións, pero pode ter outras solucións chamadas solucións estrañas. Por exemplo, a ecuación ten a solución Elevando ambos os lados ao expoñente 2 (o que significa aplicar a función a ambos os dous lados da ecuación) cámbiase a ecuación a , que non só ten a solución anterior, senón que tamén introduce a solución estraña, Ademais, se a función non está definida nalgúns valores (como 1/x, que non está definida para x = 0), as solucións existentes neses valores poden perderse. Por tanto, débese ter precaución ao aplicar devandita transformación a unha ecuación.
As transformacións anteriores son a base da maioría dos métodos elementais para a resolución de ecuacións, así como dalgúns menos elementais, como a eliminación gaussiana. Exemplos Ilustración análoga
miniatura|upright|Ilustración dunha ecuación simple; x, y e z son números reais, análogos a os pesos.
Unha ecuación é análoga a unha báscula, balanza ou balancín.
Cada lado da ecuación corresponde ao carón da balanza: o esquerdo e o dereito. Pódense colocar diferentes cantidades en cada lado: se os pesos dos dous lados son iguais, a balanza equilíbrase e, por analoxía, a igualdade que representa o equilibrio tamén se equilibra (se non é así, a falta de equilibrio corresponde a unha desigualdade representada por unha inecuación).
Na ilustración, x, y e z son cantidades diferentes (neste caso, números reais) representadas como pesos circulares, e cada un de x, y e z ten un peso diferente. A suma corresponde a engadir peso, mentres que a resta corresponde a quitar peso do que xa hai. Cando se cumpre a igualdade, o peso total de cada lado é o mesmo. Parámetros e incógnitas
As ecuacións adoitan conter termos distintos das incógnitas. Estoutros termos, que se supón que son coñecidos, adoitan denominarse constantes, coeficientes ou parámetros.
Un exemplo de ecuación que inclúe x e y como incógnitas e o parámetro R é
Cando se elixe que R teña o valor 2 (R = 2), esta ecuación recoñeceríase en coordenadas cartesianas como a ecuación da circunferencia de radio 2 ao redor da orixe. Por tanto, a ecuación con R sen especificar é a ecuación xeral da circunferencia.
Polo xeral, as incógnitas denótanse con letras ao final do alfabeto, x, y, z, w ..., mentres que os coeficientes (parámetros) denótanse con letras ao principio, a, b, c, d, ... . Por exemplo, a ecuación cuadrática xeral escríbese normalmente ax2 + bx + c = 0.
O proceso de atopar as solucións ou, no caso dos parámetros, expresar as incógnitas en termos dos parámetros, denomínase resolución da ecuación. Estas expresións das solucións en termos dos parámetros tamén se denominan solucións.
Un sistema de ecuacións é un conxunto de ecuacións simultáneas, normalmente con varias incógnitas, para as que se buscan solucións comúns. Por tanto, unha solución do sistema é un conxunto de valores para cada unha das incógnitas, que xuntos forman unha solución para cada ecuación do sistema. Por exemplo, o sistema
ten a solución única x = −1, y = 1. Identidades
Unha identidade é unha ecuación que é verdadeira para todos os valores posibles da(s) variable(s) que contén. En álxebra e cálculo coñécense moitas identidades. No proceso de resolución dunha ecuación, a miúdo utilízase unha identidade para simplificala e facilitar a súa resolución.
En álxebra, un exemplo de identidade é a diferenza de dous cadrados:
o que é certo para todos x e y.
A trigonometría é unha área na que existen moitas identidades; estas son útiles para manipular ou resolver ecuacións trigonométricas. Dous das moitas que involucran as funcións seno e coseno son:
e
que son certos para todos os valores de θ.
Por exemplo, para resolver o valor de θ que satisfai a ecuación:
onde θ está limitado entre 0 e 45 graos, pódese utilizar a identidade anterior para o produto, o que dá:
dando a seguinte solución para θ:
Dado que a función seno é unha función periódica, hai infinitas solucións se non hai restricións sobre θ. Neste exemplo, restrinxir θ entre 0 e 45 graos limitaría a solución a un só número. Álxebra A álxebra estuda dúas familias principais de ecuacións: ecuacións polinómicas e, entre elas, o caso especial de ecuacións lineais. Cando só hai unha variable, as ecuacións polinómicas teñen a forma P(x) = 0, onde P é un polinomio, e as ecuacións lineais teñen a forma ax + b = 0, a e b son parámetros. Para resolver ecuacións de calquera destas dúas familias, utilízanse técnicas algorítmicas ou xeométricas que teñen a súa orixe no álxebra lineal ou o análise matemática. A álxebra tamén estuda as ecuacións diofánticas, nas que os coeficientes e as solucións son números enteiros. As técnicas utilizadas son diferentes e proveñen da teoría de números. Estas ecuacións son difíciles en xeral; a miúdo búscanse só para atopar a existencia ou ausencia dunha solución e, se existen, para contar o número de solucións. Ecuacións polinómicas=
miniatura|upright|As solucións –1 e 2 da ecuación polinómica son os puntos onde a gráfica da función cadrática corta o eixo x.
En xeral, unha ecuación alxébrica ou ecuación polinómica é unha ecuación da forma
, or
onde P e Q son polinomios con coeficientes nalgún corpo (por exemplo, números racionais, números reais, números complexos). Unha ecuación alxébrica é univariante se só inclúe unha variable. Doutra banda, unha ecuación polinómica pode incluír varias variables, nese caso denomínase multivariante (múltiples variables, x, y, z, etc.).
Por exemplo,
é unha ecuación alxébrica univariante (polinómica) con coeficientes enteiros e
é unha ecuación polinómica multivariable sobre os números racionais.
Algunhas ecuacións polinómicas con coeficientes racionais teñen unha solución que é unha expresión alxébrica, cun número finito de operacións que involucran só eses coeficientes (é dicir, pódense resolver alxebraicamente). Isto pódese facer para todas as ecuacións de grao un, dous, tres ou catro; pero as ecuacións de grao cinco ou máis non sempre se poden resolver desta maneira, como demostra o teorema de Abel-Ruffini.
Dedicáronse moitos esforzos á investigación para calcular de maneira eficiente aproximacións precisas das solucións reais ou complexas dunha ecuación alxébrica univariante e das solucións comúns de varias ecuacións polinómicas multivariantes (véxase sistema de ecuacións alxébricas).
Tipos de ecuacións As ecuacións adoitan clasificarse segundo o tipo de operacións necesarias para definir, e segundo o conxunto de números sobre o que se busca a solución. Entre os tipos máis comúns están as: