En matemáticas, a constante de Catalan , tamén denominada coa letra , defínese por
onde é a función beta de Dirichlet. O seu valor numérico é aproximadamente
Non está demostrado que é irracional, e moito menos transcendental. De díxose "sen dúbida a constante máis básica cuxa irracionalidade e transcendencia (aínda que se sospeita fortemente) seguen sen probarse". A constante de Catalan recibiu o nome de Eugène Charles Catalan, quen atopou series de rápida converxencia para o seu cálculo e publicou unha memoria sobre ela en 1865.
Usos En combinatoria e mecánica estatística, xorde en relación coa contaxe de mosaicos de dominó, árbore de extensión, e ciclos hamiltonianos de grafos de retícula.
En teoría de números, a constante de Catalan aparece nunha fórmula conxecturada para o número asintótico de primos da forma segundo a conxectura F de Hardy e Littlewood. Porén, é un problema sen resolver (un dos problemas de Landau) se hai incluso infinitos números primos desta forma.
Identidades en forma de integral A constante de Catalan permite resolver moitas integrais con logaritmos. A maiores móstrase unha lista de integrais con valor :Se é a integral elíptica completa do primeiro tipo, en función do módulo elíptico , daquelaSe é a integral elíptica completa do segundo tipo, en función do módulo elíptico , daquelaCoa función gamma A integralé unha función especial coñecida, chamada integral tanxente inversa, e foi estudada amplamente por Srinivasa Ramanujan .
Relación con outras funcións especiais aparece en valores da segunda función poligamma, tamén chamada función trigamma, con argumentos con fraccións:A constante de Catalan ocorre con frecuencia en relación coa función de Clausen, a integral tanxente inversa, a integral do seno inverso, a función de Barnes, así como as integrais e series sumables en función das funcións mencionadas anteriormente.
Se se define o trascendente de Lerch (relacionado coa función zeta de Lerch) pordaquela
Series de converxencia rápida As dúas fórmulas seguintes implican series de converxencia rápida e, polo tanto, son apropiadas para o cálculo numérico:eOs fundamentos teóricos destas series son dados por Broadhurst, para a primeira fórmula, e Ramanujan, para a segunda fórmula. Os algoritmos para a avaliación rápida da constante de Catalan foron construídos por E. Karatsuba. Usando estas series, calcular a constante de Catalan é case tan rápido como calcular a constante de Apery .
Fracción continua pode expresarse do seguinte xeito
A fracción continua simple vén dada por
Esta fracción continua tería infinitos termos se e só se é irracional, que aínda está sen resolver.
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos Lista de constantes matemáticas Valores particular da función zeta de Riemann zeta
Ligazóns externas (Dá máis de 100 identidades diferentes).
Categoría:Teoría de números Categoría:Combinatoria Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas