dereita|miniatura| Un gráfico tridimensional dunha función indicadora, mostrado sobre un dominio cadrado bidimensional (conxunto ): a parte "erguida" mostra os puntos bidimensionais que son membros do subconxunto "indicado" (). En matemáticas, unha función indicadora ou función característica dun subconxunto dun conxunto é unha función que asigna o valor 1 aos elementos do subconxunto e o valor 0 ao resto de elementos. É dicir, se é un subconxunto dalgún conxunto , entón se e se . A notación é común para a función indicadora. Outras notacións comúns son e
A función indicadora de tamén a podemos representar mediante o corchete de Iverson da propiedade de pertencer a ; é dicir,
Por exemplo, a función de Dirichlet é a función indicadora dos números racionais como subconxunto dos números reais.
Definición A función indicadora dun subconxunto dun conxunto é unha función
definida como
O corchete de Iverson proporciona outra notación equivalente, en lugar de
A función ás veces denótase , , .
Propiedades básicas A función indicador dun subconxunto dalgún conxunto asigna elementos de no rango .
Este mapa é sobrexectivo só cando é un subconxunto propio non baleiro de . Se entón Por un argumento semellante, se entón
Se e son dous subconxuntos de daquela
e a función indicadora do complemento de é dicir é:
De xeito máis xeral, supoña que son unha colección de subconxuntos de . Para calquera
é claramente un produto de s e s. Este produto ten o valor 1 precisamente neses que non pertencen a ningún dos conxuntos e é 0 en caso contrario. É dicir
Expandendo o produto no lado esquerdo,
onde é a cardinalidade de . Esta é unha das formas do principio de inclusión-exclusión.
A función indicadoar é unha notación útil en combinatoria. A notación úsase tamén por exemplo na teoría da probabilidade: se é un espazo de probabilidade con medida de probabilidade e é un conxunto medible, entón convértese nunha variable aleatoria cuxo valor esperado é igual á probabilidade de :
Esta identidade úsase nunha proba simple da desigualdade de Markov.
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos Función paso de Heaviside Corchete de Iverson Delta de Kronecker
Categoría:Cálculo integral Categoría:Teoría da medida